Binomna raspodela
Funkcija verovatnoće ![]() | |
Funkcija kumulativne raspodele ![]() | |
Notacija | |
---|---|
Parametri | – broj pokušaja – verovatnoća uspeha za svaki pokušaj |
Nositelj | – broj uspeha |
pmf | |
CDF | |
Prosek | |
Medijana | ili |
Modus | ili |
Varijansa | |
Koef. asimetrije | |
Kurtoza | |
Entropija | u šanonima. |
MGF | |
CF | |
PGF | |
Fišerova informacija | (za fiksno ) |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Pascal%27s_triangle%3B_binomial_distribution.svg/280px-Pascal%27s_triangle%3B_binomial_distribution.svg.png)
sa n i k kao u Paskalovom trouglu
Verovatnoća da će kugla u Galtonovoj kutiji sa 8 slojeva (n = 8) završiti u centralnoj kutiji (k = 4) je .
U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima n i p je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od n nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ p) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − p). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., n = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.
Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine n koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine N. Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za N mnogo veće od n, binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.
Specifikacija
Funkcija verovatnoće
Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima n ∈ ℕ i p ∈ [0,1], piše se X ~ B(n, p). Verovatnoća da se dobije tačno k uspeha u n pokušaja je data funkcijom verovatnoće:
za k = 0, 1, 2, ..., n, gde je
binomni koeficijent,[1] po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. k uspeha se javlja sa verovatnoćom pk i n − k neuspeha se javlja sa verovatnoćom (1 − p)n − k. Međutim, k uspeha se može javiti bilo gde među n pokušaja, i postoji različitih načina raspodeljivanja k uspeha u nizu od n pokušaja.
Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do n/2 vrednosti. To je zato što se za k > n/2, verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao
Gledajući izraz f(k, n, p) kao funkciju od k, postoji k vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se k vrednost može naći izračunavajući
i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava
f(k, n, p) je monotono rastući za k < M i monotono opadajući za k > M, uz izuzetak slučaja gde je (n + 1)p ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je f maksimalno: (n + 1)p i (n + 1)p − 1. M je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.[2][3][4][5]
Funkcija kumulativne verovatnoće
Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:[6]
gde je „pod” ispod k, i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa k.
On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije,[7][8] na sledeći način:[9]
Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.
Primer
Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?
- [10]
Očekivanje
Ako je X ~ B(n, p), drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je n ukupan broj eksperimenata, a p je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:[11]
Na primer, ako je n = 100, i p = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.
Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji
i binomnoj teoremi:
Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine gde su sve randomne promenljive obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa ( ako i-ti eksperiment uspe, dok je inače ). Dobija se:
Varijansa
Varijansa je:
Dokaz: Neka je gde su sve nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je , dobija se:
Reference
- ^ Lilavati Section 6, Chapter 4 (see Knuth (1997)).
- ^ „AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions”. Архивирано из оригинала 02. 04. 2015. г. Приступљено 16. 3. 2015.
- ^ „Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution”.
- ^ Hippel, Paul T. von (2005). „Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule”. Journal of Statistics Education. 13 (2). doi:10.1080/10691898.2005.11910556. Архивирано из оригинала 14. 10. 2008. г. Приступљено 15. 08. 2019.
- ^ Bottomley, H. (2004). „Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution” (PDF). Unpublished preprint.
- ^ Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
- ^ Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), „26. Probability functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, стр. 925—995, ISBN 978-0-486-61272-0
- ^ Davis, Philip J. (1972), „6. Gamma function and related functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0
- ^ Wadsworth, G. P. (1960). Introduction to Probability and Random Variables. New York: McGraw-Hill. стр. 52.
- ^ Hamilton Institute. "The Binomial Distribution" October 20, 2010.
- ^ See Proof Wiki
Literatura
- Hirsch, Werner Z. (1957). „Binomial Distribution—Success or Failure, How Likely Are They?”. Introduction to Modern Statistics. New York: MacMillan. стр. 140—153.
- Neter, John; Wasserman, William; Whitmore, G. A. (1988). Applied Statistics (Third изд.). Boston: Allyn & Bacon. стр. 185–192. ISBN 0-205-10328-6.
- Ash, Robert B. (1990) [1965]. Information Theory. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-66521-6.
- Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions. 27. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-333-7.
- Bryant, Victor (1993). Aspects of combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41974-3.
- Flum, Jörg; Grohe, Martin (2006). Parameterized Complexity Theory. Springer. ISBN 978-3-540-29952-3. Архивирано из оригинала 18. 11. 2007. г. Приступљено 15. 08. 2019.
- Fowler, David (januar 1996). „The Binomial Coefficient Function”. The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 103 (1): 1—17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209.
- Goetgheluck, P. (1987). „Computing Binomial Coefficients”. American Mathematical Monthly. 94: 360—365. doi:10.2307/2323099.
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics (Second изд.). Addison-Wesley. стр. 153–256. ISBN 0-201-55802-5.
- Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2014). Table of Integrals, Series, and Products (8th изд.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5.
- Grinshpan, A. Z. (2010), „Weighted inequalities and negative binomials”, Advances in Applied Mathematics, 45 (4): 564—606, doi:10.1016/j.aam.2010.04.004
- Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM. стр. 25. ISBN 0-89871-420-6.
- Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third изд.). Addison-Wesley. стр. 52—74. ISBN 0-201-89683-4.
- Singmaster, David (1974). „Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients”. Journal of the London Mathematical Society. 8 (3): 555—560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.
- Shilov, G. E. (1977). Linear algebra. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7.
Spoljašnje veze
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
- Binomial distribution formula calculator[мртва веза]
- Difference of two binomial variables: X-Y
- Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha
- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Binomial coefficients”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Andrew Granville (1997). „Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers”. CMS Conf. Proc. 20: 151—162. Архивирано из оригинала 23. 09. 2015. г. Приступљено 15. 08. 2019.