Klein-Gordonova jednadžba

Kvantna fizika

Kvantna mehanika

Uvod u... Matematička formulacija...

Fundamentalni koncepti

Dekoherencija · Interferencija Neodređenost · Isključenje Teorija transformacije Ehrenfestov teorem · Mjerenje

Eksperimenti

Eksperiment s dvostrukom pukotinom Davisson-Germer eksperiment Stern–Gerlach eksperiment EPR paradoks · Popperov eksperiment Schrödingerova mačka

Jednadžbe

Schrödingerova jednadžba Paulijeva jednadžba Klein-Gordonova jednadžba Diracova jednadžba

Napredne teorije

Kvantna teorija polja Kvantna elektrodinamika Kvantna kromodinamika Kvantna gravitacija Feynmanov dijagram

Interpretacije

Kopenhagenska · Kvantna logika Skrivene varijable · Transakcijska Mnogo-svjetova · Ansambl Konzistentne povijesti · Relacijska Svijest uzrokuje kolaps Orkestrirana objektivna redukcija

Znanstvenici

Planck · Schrödinger Heisenberg · Bohr · Pauli Dirac · Bohm · Born de Broglie · von Neumann Einstein · Feynman Everett · Drugi

Ova kutijica: pogledaj • razgovor • uredi

Klein–Gordonova jednadžba (Klein–Fock–Gordonova jednadžba ili ponekad Klein–Gordon–Fockova jednadžba) je relativistička verzija Schrödingerove jednadžbe. Također je kvantizirana verzija relativističke relacije energije s momentom. Rezultati jednadžbe su kvantno skalarno ili pseudoskalarno polje čiji su kvanti bez spina. Teorijski značaj jednadžbe jednak je značaju Diracove jednadžbe.^[1] Elektromagnetske interakcije se mogu uvrstiti, što daje temu skalarne elektrodinamike, no kako su čestice bez spina, na primjer pi-mezoni, nestabilni i doživljavaju jake interakcije, praktična korisnost jednadžbe je ograničena.

Klein–Gordon jednadžba s parametrom mase ${\displaystyle m}$ je

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Rješenja jednadžbe su kompleksne funkcije ${\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )}$ vremenske varijable ${\displaystyle t}$ i prostornih varijabli ${\displaystyle \mathbf {x} }$; Laplasov operator ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ djeluje samo na prostorne varijable.

Jednadžba se često skraćuje na

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

gdje su ${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hslash }}}$ i ${\displaystyle \Box }$ d'Alembertovi operatori, definirani kao

${\displaystyle \Box =-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

(Koristi se (−, +, +, +) metrički potpis.)

Klein–Gordonova jednadžba se najčešće zapisuje u prirodnim jedinicama:

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

Forma je određena time da rješenja zapisana kao ravninski valovi:

${\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}$

poštuju relaciju energije i momenta sile specijalne teorije relativnosti:

${\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}}$

Za razliku od Schrödingerove jednadžbe, Klein–Gordonova jednadžba priznaje dvije vrijednosti ω za svaki k, pozitivnu i negativnu. Samo razdiobom pozitivnih i negativnih dijelova frekvencije dobiva se jednadžba koja opisuje relativističku valnu funkciju. Za slučaj nezavisan o vremenu, Klein–Gordonova jednadžba postaje

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0}$

te je formalno ista homogeno zapisanoj Poissonovoj jednadžbi.

Nerelativistička jednadžba energije slobodne čestice je

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

Kvantizacijom se dobiva nerelativistička Schrödingerova jednadžba slobodne čestice,

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi }$

gdje je

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

Operator momenta (∇ je del-operator), a

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}}$

je energetski operator.

Schrödingerova jednadžba nije relativistički kovarijantna, odn. ne uzima u obzir Einsteinovu posebnu relativnost.

Prirodno se koristi identitet posebne relativnosti koji opisuje energiju:

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E}$

Tada se samo ubace kvantno-mehanički operatori za moment i energiju kako bi se dobila jednadžba

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

No, ovo je nepraktična jednadžba jer se diferencijalni operator ne može izračunati dok je pod korijenom.

Klein i Gordon su umjesto toga krenuli s kvadratom gornje jednadžbe:

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}}$

koja, kad se kvantizira, daje

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi }$

što se može pojednostaviti na

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

Preuređivanjem elemenata dobivamo

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

U jednadžbi nema imaginarnih brojeva, pa se može primijeniti u područjima koja imaju realne vrijednosti, kao i na ona sa imaginarnim vrijednostima.