Hiperbolična trigonometrija ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje za razliku od oblika gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.
Sadržaj
1Hiperbolične funkcije
1.1Definicija hiperboličnih funkcija
1.2Geometrijsko određivanje
1.3Trigonometrijske veze
2Osnovne formule
2.1Funkcije jednog argumenta
2.2Međusobno izražavanje
2.3Zbir i razlika argumenata
2.4Funkcije dvostrukog argumenta
2.5Moavrova hiperbolična formula
2.6Funkcije polovine argumenta
2.7Zbir i razlika funkcija
3Inverzne (Area) funkcije
3.1Izražavanje logaritmima
3.2Međusobno izražavanje inverznih
3.3Odnosi među inverznim
4Povezano
Hiperbolične funkcije
Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (Vincenzo Riccati, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.
Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).
Geometrijsko određivanje
U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao α je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu Pk dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano).
Sl.6. Trigonometrijska kružnica
Sl.7. Trigonometrijska hiperbola
Naime, kada je ugao AOC, tj. α u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu nego za istostranu hiperbolu i označavajući sa površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.
Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD:
dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:
Trigonometrijske veze
Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom sa i zamenom sa Na primer:
prelazi u
prelazi u
Osnovne formule
Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.