Arkus kosinus

Arkus kosinus
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	[-1,1]
Kodomen	[0,π]
Specifične vrednosti
Nule	1
Vrednost u -1	π
Vrednost u 0	π/2
Vrednost u 1	0
Specifične osobine
Prevoji	(0,π/2)
Ulazak u nulu pod uglom	-π/4

Arkus kosinus je funkcija inverzna kosinusnoj funkciji na intervalu [0,π] njenog domena. Koristi se za određivanje veličine ugla u ovom opsegu kada je poznata vrednost njegovog kosinusa.

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus kosinus:

${\displaystyle \arccos {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin {x}}$ (pravilo komplementarnih uglova)

${\displaystyle \arccos {-x}=\pi -\arccos {x}}$

${\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},}$ ako ${\displaystyle \ 0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=arcsec{x}}$

Preko formule za polovinu ugla se dobija i:

${\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},}$ ako ${\displaystyle -1<x\leq +1}$

Izvod:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}$

Predstavljanje u formi integrala:

${\displaystyle \arccos x{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

• Funkcija arkus kosinus na wolfram.com