65 537 (число)


65 537
шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать семь
← 65 535 · 65 536 · 65 537 · 65 538 · 65 539 →
Разложение на множители 65 537 (простое)
Римская запись LXVDXXXVII
Двоичное 10000000000000001
Восьмеричное 200001
Шестнадцатеричное 10001

65 537 (шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать семь) — натуральное число, расположенное между числами 65 536 и 65 538. Оно является 6543-м простым числом, а относительно их последовательности расположено между 65521 и 65539[1]. Принадлежит к последовательности чисел Ферма, равно 2 2 4 + 1. {\displaystyle 2^{2^{4}}+1.}

Математика

Сумма квадратов цифр числа 65 537 в десятичной записи — точный квадрат[2]:

62 + 52 + 52 + 32 + 72 = 36 + 25 + 25 + 9 + 49 = 144 = 122.

65537 — простое число вида x4 + y4[3].

Число 1065 537 + 27 является простым, как и числа 10+27=37, 127, 1083 + 27, 10167 + 27, 10242 + 27, 1014081 + 27. Если существует следующее простое число этой формы, то показатель степени должен быть больше 100 000[4].

Простое число Ферма

65 537 — наибольшее известное простое число в форме 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2^{n}}+1} . Это значит, что правильный 65537-угольник может быть построен с помощью циркуля и немаркированной линейки[5]. В теории чисел простые числа этой формы известны как простые числа Ферма, названные в честь французского математика Пьера Ферма[6]. Первые числа Ферма являются простыми и равны[7][8]

2 2 0 + 1 = 2 1 + 1 = 3 , {\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}
2 2 1 + 1 = 2 2 + 1 = 5 , {\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}
2 2 2 + 1 = 2 4 + 1 = 17 , {\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}
2 2 3 + 1 = 2 8 + 1 = 257 , {\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}
2 2 4 + 1 = 2 16 + 1 = 65 537. {\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65\,537.}

В 1732 году Эйлер показал, что следующее, пятое, число Ферма 4294967297 (число), является составным:

2 2 5 + 1 = 2 32 + 1 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417. {\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\times 6\,700\,417.}

А в 1880 году, Ф. Лэндри показал, что шестое число Ферма 18446744073709551617 также разлагается на множители:

2 2 6 + 1 = 2 64 + 1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 × 67 280 421 310 721. {\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,617=274\,177\times 67\,280\,421\,310\,721.}

См. также

  • Quartan prime[англ.]

Примечания

  1. ↑ Свойства числа 65537 Архивная копия от 11 мая 2017 на Wayback Machine ru.numberempire.com
  2. ↑ Последовательность A175396 в OEIS: числа n, сумма квадратов цифр которых является точным квадратом // Фрагмент: 65 375, 65 402, 65 420, 65 537, 65 573, 65 666, 65 688
  3. ↑ Последовательность A002645 в OEIS = Quartan primes: primes of the form x^4 + y^4, x>0, y>0 // Фрагмент: 39 041, 49 297, 54 721, 65 537, 65 617, 66 161, 66 977
  4. ↑ Последовательность A108312 в OEIS = Integers n such that 10^n + 27 is prime. // Фрагмент: 1, 2, 83, 167, 242, 14 081, 65 537
  5. ↑ Последовательность A045544 в OEIS: нечётные значения n, для которых правильный n-угольник может быть построен циркулем и линейкой
  6. ↑ Последовательность A000215 в OEIS = Fermat numbers: 2^(2^n) + 1, n >= 0
  7. ↑ Conway, J. H.; Guy, R. K. The Book of Numbers (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1996. — P. 139. — ISBN 0-387-97993-X.
  8. ↑ Последовательность A019434 в OEIS = Fermat primes: primes of the form 2^(2^k) + 1, for some k >= 0

Литература

  • David Wells. 65 537 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed. — Penguin Books, 1987. — P. 177. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
  • Chris K. Caldwell, G. L. Honaker, Jr. 65537 // Prime Curios! The Dictionary of Prime Number Trivia (англ.). — CreateSpace, 2009. — P. 165—166. — 316 p. — ISBN 978-1448651702.

Ссылки

  • 65537 в Prime Curious!
  • Число 65537 в OEIS