Распределение variance-gamma

Распределение variance-gamma
Параметры

μ {\displaystyle \mu } (вещественное число)
α {\displaystyle \alpha } (вещественное число)
β {\displaystyle \beta } коэффициент асимметрии (вещественное число)
λ > 0 {\displaystyle \lambda >0}

γ = α 2 − β 2 > 0 {\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}
Носитель x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}
Плотность вероятности

γ 2 λ | x − μ | λ − 1 / 2 K λ − 1 / 2 ( α | x − μ | ) π Γ ( λ ) ( 2 α ) λ − 1 / 2 e β ( x − μ ) {\displaystyle {\frac {\gamma ^{2\lambda }|x-\mu |^{\lambda -1/2}K_{\lambda -1/2}\left(\alpha |x-\mu |\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\lambda )(2\alpha )^{\lambda -1/2}}}\;e^{\beta (x-\mu )}}

K λ {\displaystyle K_{\lambda }} обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода

Γ {\displaystyle \Gamma } обозначает Гамма-функцию
Математическое ожидание μ + 2 β λ / γ 2 {\displaystyle \mu +2\beta \lambda /\gamma ^{2}}
Дисперсия 2 λ ( 1 + 2 β 2 / γ 2 ) / γ 2 {\displaystyle 2\lambda (1+2\beta ^{2}/\gamma ^{2})/\gamma ^{2}}
Производящая функция моментов e μ z ( γ / α 2 − ( β + z ) 2 ) 2 λ {\displaystyle e^{\mu z}\left(\gamma /{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}\right)^{2\lambda }}

Распределение variance-gamma — распределение вероятностей, является нормальной смесью дисперсии-среднего, в которой в качестве взвешивающей плотности взята плотность гамма-распределения. Распределение обладает «тяжелыми хвостами» (тяжелее, чем у нормального распределения), поэтому подходит для моделирования ситуаций в которых появление больших значений случайной величины более вероятно. Примерами могут служить прибыль финансовых активов и скорости турбулентных воздушных потоков. Семейство распределений variance-gamma является подклассом обобщенных гиперболических распределений.

Обобщение

Обобщением распределения variance-gamma является обобщённое гиперболическое распределение.

Перейти к шаблону «Список вероятностных распределений»
Дискретные
Абсолютно
непрерывные