Алгоритм нахождения корня n-ной степени

Арифметическим корнем ${\displaystyle n}$-ной степени ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}$ положительного действительного числа ${\displaystyle A}$ называется положительное действительное решение уравнения ${\displaystyle x^{n}=A}$ (для целого ${\displaystyle n}$ существует ${\displaystyle n}$ комплексных решений данного уравнения, если ${\displaystyle A>0}$, но только одно является положительным действительным).

Существует быстросходящийся алгоритм нахождения корня ${\displaystyle n}$-ной степени:

1. Сделать начальное предположение ${\displaystyle x_{0}}$;
2. Задать ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)}$;
3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Частным случаем является итерационная формула Герона для нахождения квадратного корня, которая получается подстановкой ${\displaystyle n=2}$ в шаг 2: ${\displaystyle x_{k+1}=(x_{k}+A/x_{k})/2}$.

Существует несколько выводов данного алгоритма. Одно из них рассматривает алгоритм как частный случай метода Ньютона (также известного как метод касательных) для нахождения нулей функции ${\displaystyle f(x)}$ с заданием начального предположения. Хотя метод Ньютона является итерационным, он сходится очень быстро. Метод имеет квадратичную скорость сходимости — это означает, что число верных разрядов в ответе удваивается с каждой итерацией (то есть увеличение точности нахождения ответа с 1 до 64 разрядов требует всего лишь 6 итераций, но не стоит забывать о машинной точности). По этой причине данный алгоритм используют в компьютерах как очень быстрый метод нахождения квадратных корней.

Для больших значений ${\displaystyle n}$ данный алгоритм становится менее эффективным, так как требуется вычисление ${\displaystyle x_{k}^{n-1}}$ на каждом шаге, которое, тем не менее, может быть выполнено с помощью алгоритма быстрого возведения в степень.

Метод Ньютона — это метод нахождения нулей функции ${\displaystyle f(x)}$. Общая итерационная схема:

1. Сделать начальное предположение ${\displaystyle x_{0};}$
2. Задать ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}$;
3. Повторять шаг 2, пока не будет достигнута необходимая точность.

Задача нахождения корня ${\displaystyle n}$-ой степени может быть рассмотрена как нахождение нуля функции ${\displaystyle f(x)=x^{n}-A}$, производная которой равна ${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}$.

Тогда второй шаг метода Ньютона примет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}\\&=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}\\&=x_{k}+{\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]\\&={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right].\end{aligned}}}$

• Atkinson, Kendall E. (1989), An introduction to numerical analysis (2nd ed.), New York: Wiley, ISBN 0471624896.