În algebra liniară, teorema lui Laplace constituie o modalitate de a calcula determinantul unei matrice.
Enunțul acesteia este următorul: Se consideră matricea pătrată
formată din n linii și n coloane. Atunci determinantul
este egal cu suma produselor minorilor de pe r linii, fixate prin complementele lor algebrice.
Este atribuită omului de știință Pierre-Simon Laplace.
Exemplu
Pentru calculul determinantului:
![{\displaystyle D_{5}={\begin{vmatrix}1&0&0&0&2\\0&1&0&0&3\\x&0&1&0&4\\x&x&0&1&5\\x&x&x&0&6\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40dd2d5042adfc330c2662a7a49e02c50ef6782e)
acesta se va dezvolta după primele două linii. Minorii acestor linii sunt în număr de
dar se vor considera doar cei nenuli și anume:
![{\displaystyle M_{12}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1,\;M_{15}={\begin{vmatrix}1&2\\0&3\end{vmatrix}}=3,\;M_{25}={\begin{vmatrix}0&2\\1&3\end{vmatrix}}=-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1758ba7afeef5546484e01ff0ecd003db052ed02)
Complemenții algebrici ai acestora sunt:
![{\displaystyle M'_{12}=(-1)^{6}{\begin{vmatrix}1&0&4\\0&1&5\\x&0&6\end{vmatrix}}=6-4x,\;M'_{15}=(-1)^{9}{\begin{vmatrix}0&1&0\\x&0&1\\x&x&0\end{vmatrix}}=-x,\;M'_{25}=(-1)^{10}{\begin{vmatrix}x&1&0\\x&0&1\\x&x&0\end{vmatrix}}=x-x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155b7ff0c28903bf3b81c256d1f5ee09b09c6458)
Așadar:
![{\displaystyle D_{5}=1\cdot (6-4x)+3\cdot (-x)+(-2)\cdot (x-x^{2})=2x^{2}-9x+6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0f783547dc308bf241929ff464d5b22ca84831)
Teorema a doua a lui Laplace
O altă teoremă atribuită lui Laplace este următoarea:[1] Suma produselor elementelor unei linii sau unei coloane ale unui determinant prin complementele algebrice corespunzătoare ale altei linii, respectiv coloane, este zero.
Note
- ^ LezioniDiMatematica.net
Vezi și