Spațiu funcțional
În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.
În algebra liniară
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Example_for_addition_of_functions.svg/220px-Example_for_addition_of_functions.svg.png)
Fie V un spatiu vectorial peste un corp F și fie X o mulțime. Funcțiile definite pe X cu valori în V pot primi structura de spațiu vectorial peste F unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice f,g: X → V , orice x din X și orice c din F, se definește
Atunci când domeniul X are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau subspațiul(d)) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă X este și spațiu vectorial peste F, mulțimea aplicațiilor liniare X → V formează un spațiu vectorial peste F cu operații pe puncte (adesea notate Hom(X, V)). Un astfel de spațiu este spațiul dual(d) al lui V: mulțimea formelor lineare(d) V → F cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.
Exemple
Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:
- În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau Y X.
- Ca un caz special, mulțimea părților(d) unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2X.
- Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu . Notatia factorial X! poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi X.
- În analiza funcțională se observă aceleași lucru pentru transformări liniare continue, incluzând topologii pe spațiile vectoriale(d), iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care au o topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile Hilbert și spațiile Banach.
- În analiza funcțională mulțimea tuturor funcțiilor definite pe numerele naturale cu valori într-o anumită mulțime X se numesc spațiu de șir(d). Se compune din mulțimea tuturor șirurilor posibile ale elementelor lui X.
- În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologic X cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este topologia compactă deschisă(d), cum ar fi spațiul buclă(d). Există și topologia produsului(d) pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) YX. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale.
- În topologia algebrică, studiul teoriei homotopiei(d) este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
- În teoria proceselor stohastice, problema tehnică de bază este cum să se construiască o măsură de probabilitate(d) pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcții de timp);
- În teoria categoriilor, spațiul funcțional se numește obiect exponențial(d) sau obiect de aplicații(d). Apare într-un fel ca reprezentare a bifunctorului canonic(d); dar și ca functor (simplu), de tip [ X , -], apare ca functor adjunct(d) al unui functor de tip (-×X) pe obiecte;
- În programarea funcțională și calculul lambda(d), tipurile funcțiilor(d) sunt folosite pentru a exprima ideea de funcțională(d).
- În teoria domeniilor(d), ideea de bază este de a găsi construcții din ordini parțiale(d) care pot să modeleze calculul lambda, creând o categorie carteziană închisă(d) cu comportament favorabil.
- În teoria reprezentării grupurilor finite(d), date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită reprezentarea Hom(d). [1]
Analiza funcțională
Analiza funcțională este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca spații vectoriale topologice(d) la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.
- Spațiul Schwartz(d) de funcții indefinit derivabile rapid descrescătoare și distribuțiile lor temperate(d) duale
- Spațiul Lp
- funcții continue înzestrate cu topologia normei uniforme
- funcții continue pe suport compact(d)
- funcții mărginite
- funcții continue care dispar la infinit
- funcții continue cu primele r derivate continue.
- funcții indefinit derivabile
- funcții indefinit derivabile cu suport compact(d)
- suport compact pe topologia marginii
- spațiu Sobolev(d)
- funcții olomorfe
- funcții liniare
- funcții liniare pe porțiuni
- funcții continue, topologie compactă deschisă
- toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale
- spațiul Hardy(d)
- spațiul Hölder(d)
- funcțiile càdlàg function(d), cunoscute și sub numele de spațiul Skorohod(d)
Normă
Dacă y este un element al spațiului funcțional al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma definită pe este valoarea absolută maximă a lui y (x) pentru a ≤ x ≤ b , [2]
Note
- ^ Fulton, William; Harris, Joe (). Representation Theory: A First Course (în engleză). Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958.
- ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (). Silverman, Richard A., ed. Calculus of variations (ed. Unabridged repr.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.
Bibliografie
- Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații.
- Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.
![]() | Portal matematică |