Punct șa

{\displaystyle (x,y)\mapsto x^{2}-y^{2}} — Punctul în roșu al graficului funcției $(x,y)\mapsto x^{2}-y^{2}$ asociat unicului punct șa al său (0;0).

În matematică, un punct șa (în engleză saddle point) al unei funcții f definite pe un produs cartezian X × Y a două mulțimi X și Y este un punct $({\bar {x}},{\bar {y}})\in X\times Y$ în așa fel încât:

$y\mapsto f({\bar {x}},y)$ atinge un maxim în ${\bar {y}}$ pe Y;
iar $x\mapsto f(x,{\bar {y}})$ atinge un minim în ${\bar {x}}$ pe X.

Unii autori inversează maximele și minimele ( $f({\bar {x}},\cdot )$ cu un minim în ${\bar {y}}$ și $f(\cdot ,{\bar {y}})$ cu un maxim în ${\bar {x}}$ ), dar aceasta nu schimbă cantitativ rezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul punct șa se referă la forma de șa de cal pe care o ia graficul funcției când X și Y sunt intervale din $\mathbb {R}$ . În terminologia din limba franceză se utilizează denumirea de punct trecătoare, cu referire la imaginea unei trecători din munte.

Într-o dimensiune, un punct șa este un punct de inflexiune care este și punct staționar.

Mai general, un punct șa pentru o funcție este un punct staționar în vecinătatea căreia curba nu se află doar pe o parte a hiperplanului tangent.

Noțiunea de punct șa intervine:

în optimizare, concept care permite enunțarea unor condiții care asigură existența unei soluții primare duale;
în teoria jocurilor, puncte șa în matricile de câștig;
pentru determinarea unor soluții particulare ale unor ecuații care nu sunt de minim sau maxim.

Definiție

Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct șa a unei funcții definite pe un produs cartezian de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale $\mathbb {R}$ (sau mai general în dreapta reală încheiată ${\bar {\mathbb {R} }}$ ).

Teoremă
Punct șa
Fie X și Y două mulțimi și $f:X\times Y\to {\bar {\mathbb {R} }}$ o funcție care poate lua valorile $\pm \infty$ . Se spune că $({\bar {x}},{\bar {y}})\in X\times Y$ este un punct-șa al f pe X × Y dacă

$\forall \,(x,y)\in X\times Y:\qquad f({\bar {x}},y)\leqslant f({\bar {x}},{\bar {y}})\leqslant f(x,{\bar {y}}).$

În condițiile de mai sus, $f({\bar {x}},{\bar {y}})$ este numită valoarea șa a f.

Altfel spus, $y\mapsto f({\bar {x}},y)$ atinge un maximum în ${\bar {y}}$ pe Y și $x\mapsto f(x,{\bar {y}})$ atinge un minimum în ${\bar {x}}$ pe X. Nimic nu este cerut în afara crucii $(\{{\bar {x}}\}\times Y)\cup (X\times \{{\bar {y}}\})$ , astfel încât imaginea șeii să poată fi înșelătoare ca atunci când $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ este definită de f(x,y)=x²y² (toate punctele de pe axele de ordonate sunt puncte șa).

Referințe și note

en Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 375, ISBN 0-387-97388-5
en Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (ed. 2nd), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
en von Petersdorff, Tobias (2006), „Critical Points of Autonomous Systems”, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)
en Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, p. 128, ISBN 0-486-66103-2
en Agarwal, A., Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes)

Bibliografie

fr H. Brézis (1973), Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. ISBN: 978-0-7204-2705-9.
en M. Sion (1958), « On general minimax theorems », Pacific Journal of Mathematics 8, 171-176.