În matematică produsul Khatri–Rao al matricilor este definit drept[1][2][3]
în care al ij-lea bloc este produsul Kronecker mipi × njqj al blocurilor corespunzătoare din A și B, presupunând că numărul partițiilor pe linii și coloane ale ambelor matrici este egal . Mărimea produsului este atunci (Σi mipi) × (Σj njqj).
De exemplu, dacă ambele A și B sunt partiționate 2 × 2:
se obține:
Aceasta este o submatrice a produsului Tracy–Singh[4] dintre cele două matrici (fiecare partiție din acest exemplu este o partiție într-un colț al produsului Tracy–Singh) și poate fi numită și produsul Kronecker pe blocuri.
Produsul cu divizarea feței
Produs cu divizarea feței matricilor
Un concept alternativ al produsului matricial, care utilizează divizarea pe linii a matricilor cu un anumit număr de linii a fost propus de Vadim Sliusar[5] în 1996. [6][7][8][9][10]
Această operație matricială a fost numită „produsul cu divizarea feței” al matricilor[7][9] sau "produsul Khatri–Rao transpus". Acest tip de operație se bazează pe produse Kronecker linie cu linie din două matrici. Folosind matricile din exemplele anterioare partiționate pe linii:
Modelul liniar generalizat matricial în statistică,[17]
Alte prelucrări statistice, cum ar fi studiile interacțiunilor în mediul genotip X.[19]
Note
^en Khatri, C. G.; Rao, C. R. (). „Solutions to some functional equations and their applications to characterization of probability distributions”. Sankhya. 30: 167–180. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în .
^en Liu, Shuangzhe (). „Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products”. Linear Algebra and Its Applications. 289 (1–3): 267–277. doi:10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .
^en Zhang X; Yang Z; Cao C. (), „Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices”, Applied Mathematics E-notes, 2: 117–124
^en Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (). „Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products”. International Journal of Information and Systems Sciences. 4 (1): 160–177.
^en Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): "Interaction Terms in Distance-Based Regression," Communications in Statistics – Theory and Methods, 38:19, p. 3501 [1]
^ abcdeen Slyusar, V. I. (). „End products in matrices in radar applications” (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 41 (3): 50–53.
^ abcdeen Slyusar, V. I. (). „Analytical model of the digital antenna array on a basis of face-splitting matrix products” (PDF). Proc. ICATT-97, Kyiv: 108–109.
^ abcdefghen Slyusar, V. I. (). „New operations of matrices product for applications of radars” (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73–74.
^ abcdefghen Slyusar, V. I. (). „A Family of Face Products of Matrices and its Properties” (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999. 35 (3): 379–384. doi:10.1007/BF02733426.
^en Slyusar, V. I. (). „Generalized face-products of matrices in models of digital antenna arrays with nonidentical channels” (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 46 (10): 9–17.
^ abcen Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
^ aben C. R. Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161–172
^en Masiero, B.; Nascimento, V. H. (). „Revisiting the Kronecker Array Transform”. IEEE Signal Processing Letters. 24 (5): 525–529. Bibcode:2017ISPL...24..525M. doi:10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN 1070-9908.
^en Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
^ abcen Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, ArXiv
^ aben Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (). „Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression”. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159–174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
^ abcen Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (). „Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing”. Journal of the Royal Statistical Society. 68 (2): 259–280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.
^en Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv
^en Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [2]
Bibliografie
en Rao C.R.; Rao M. Bhaskara (), Matrix Algebra and Its Applications to Statistics and Econometrics, World Scientific, p. 216
en Zhang X; Yang Z; Cao C. (), „Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices”, Applied Mathematics E-notes, 2: 117–124
en Liu Shuangzhe; Trenkler Götz (), „Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products”, International Journal of Information and Systems Sciences, 4: 160–177