Conținutul paginii Șir convergent ar trebui să fie inclus aici.
n
n sin(1/n)
1
0.841471
2
0.958851
...
10
0.998334
...
100
0.999983
Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.
Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.
Istoric
Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.
Definiție
Pentru un șir de numere reale
Un număr real L se numește limita șirului xn, notându-se sub forma:
Pentru un șir de puncte într-un spațiu metricM, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):
Un element este numit limita șirului și se notează:
dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr naturalN astfel încât pentru orice n > N, d(xn,L) < ε.
Exemple
Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul an are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a1/n are limita 1.