Sistema autônomo (matemática)

Na teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema autônomo é um sistema de equações diferenciais ordinárias que não depende nas variáveis independentes.

Um sistema autônomo de ordem n é uma equação diferencial ordinária da seguinte forma:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$

onde x é um vetor de n dimensões.

Note que a função ${\displaystyle f\,}$ não depende (diretamente) de ${\displaystyle t\,}$, dependendo apenas da função ${\displaystyle x\,}$

Um sistema autônomo de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem da forma:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x)\,}$

onde ${\displaystyle x(t)\,}$ é uma função real da variável t.

A técnica de resolução consiste em separar os diferenciais:

• ${\displaystyle {\frac {dx}{f(x)}}=dt\,}$

e integrar:

• ${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}{\frac {1}{f(x)}}dx=t-t_{0}\,}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=x^{2}\,}$

restrito à condição inicial ${\displaystyle x(0)=1\,}$ A solução é dada por:

• ${\displaystyle {\frac {1}{x(0)}}-{\frac {1}{x(t)}}=t\,}$

ou, resolvendo para ${\displaystyle x\,}$:

• ${\displaystyle x(t)={\frac {1}{1-t}},~~t<1\,}$

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