Em matemática, a série dos inversos dos primos é a série numérica cujos termos são os inversos dos números primos:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8853ffac0b3ada542e6e1e7607d2227c2ce780e9)
O matemático suíço Leonhard Euler demonstrou, no século XVIII que esta série é divergente.
Demonstração
Uma versão moderna da prova original de Euler pode ser feita como a seguir:
Defina o conjunto
cujos elementos são todos os números naturais positivos divisíveis apenas pelos k primeiros números primos. Defina também
como a soma dos inversos dos elementos de
, assim:
![{\displaystyle S_{0}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a03877ed0f239e12b32bef862378bebc811b90)
![{\displaystyle S_{1}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3178a71ab78b4ac0272d603692a95ced7c6d8dd6)
![{\displaystyle S_{2}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{3^{2}}}\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7aa1158d562ef8e3257df32017d14d761c9c62)
É possível mostrar por indução que:
![{\displaystyle S_{k}=\left(1+{\frac {1}{p_{k}}}+{\frac {1}{p_{k}^{2}}}+{\frac {1}{p_{k}^{3}}}+\ldots \right)S_{k-1},~~k\geq 2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068ba9be806a29d0b3a132a3e51a05c1d095ac21)
Usando a série geométrica, temos:
![{\displaystyle S_{k}={\frac {1}{1-p_{k}^{-1}}}S_{k-1},~~k\geq 2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f71bf16e0a99a4e924e6539e7769ae01a60842f)
E, portanto:
![{\displaystyle S_{k}=\left({\frac {1}{1-p_{k}^{-1}}}\right)\left({\frac {1}{1-p_{k-1}^{-1}}}\right)\cdots \left({\frac {1}{1-p_{1}^{-1}}}\right)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea22f1f757228f97725f09ef317ddce384fb390)
tomando logaritmos, temos:
![{\displaystyle \ln S_{k}=-\sum _{i=1}^{k}\ln \left(1-p_{i}^{-1}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e5c357f8ae458116d0364611385b0bc9943939)
Usamos a série de Taylor para o logarítmo:
![{\displaystyle -\ln(1-p_{i}^{-1})={\frac {1}{p_{i}}}+{\frac {1}{2p_{i}^{2}}}+{\frac {1}{3p_{i}^{3}}}+\ldots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0079a35c878c55552402b38d270710b2d427c7e)
assim:
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\ln S_{k}&=&\sum _{i=1}^{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np_{i}^{n}}}\\&=&\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}}}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{np_{i}^{n-2}}}\\&\leq &\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}}}\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}^{n-2}}}\\&=&\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}-p_{i}}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65657b150d029f481584a05a61cc65fe8e9d591c)
Observamos que:
![{\displaystyle \sum _{i=2}^{k}{\frac {1}{p_{i}^{2}-p_{i}}}\leq \sum _{i=2}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}-i}}=\sum _{i=2}^{\infty }\left({\frac {1}{i-1}}-{\frac {1}{i}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1912536809ab97434f5a18f3a2f9f27af3f95c13)
e também que:
![{\displaystyle S_{k}\geq \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{k}}\geq \ln k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288b4be6727aedbb04284f6b2caa0259db1f496b)
E finalmente:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\geq \ln \left(\ln k-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21323f5c2398fef929d9d2af9a1fbee583b9c7a5)
E o resultado segue dado que
quando
Outra demonstração
Esta prova é atribuída ao matemático húngaro Paul Erdős.
Suponha por absurdo que a série seja convergente. Então existe um número natural
tal que:
![{\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea7e14244f076774116f5671c47cbd3048c275e)
Defina o conjunto
formado pelos números naturais inferiores ou iguais a x que são divisíveis apenas pelos primos
:
![{\displaystyle S(x)=\left\{n\in \mathbb {N} :n\leq x\land p_{i}\nmid n,~~\forall i>k\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3f2bce83a4ec00f7a40331f2cafee1c569e9d8)
E defina a função
como o número de elementos em
.
A prova consiste em estabelecer valores máximos e mínimos para N(x) e observar uma contradição para valores altos de x.
Proposição 1:
Todo número inteiro pode ser escrito na forma
, onde q é um Inteiro sem fator quadrático. Os elementos
só podem ter, como fatores primos, os primos
, portanto o número q é da seguinte forma:
![{\displaystyle q={p_{1}}^{e_{1}}{p_{2}}^{e_{2}}\ldots {p_{k}}^{e_{k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97562b49dedab6b33e67cc411f943a6461ae390e)
onde os expoentes
valem 0 ou 1. Existem, portanto, no máximo,
possibilidades para o valor do número q. Como m2 ≤ x, temos que existem no máximo
possibilidades para m. Assim, por análise combinatória, temos uma quota superior para N(x).
Proposição 2:
O complemento do conjunto S(x) no conjunto {1, 2, ..., x} tem x - N(x) elementos. Cada elemento deste conjunto deve ser divisível por algum primo pi, com i > k.
Mas a quantidade de números inteiros nesta faixa que é divisivel por um primo
é inferior a
.
Portanto, temos a a estimativa:
![{\displaystyle x-N(x)\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}=x\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {x}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ff66377857aac7cc92d09cd0e6fece74372559)
ou, simplificando:
![{\displaystyle N(x)>{\frac {x}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec8bacce5f988ba31ea79dcb80d84b604e9725c)
E vemos que, para x grande, as duas proposições se contradizem, o que completa a demonstração.
Teorema de Brun
Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge. Esta série gera o número denominado de constante de Brun.
![{\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots \approx 1,9021605823.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfaefc26928517f2e8cf60bda50dc29b3e2092a)
Observe cuidadosamente que ainda é um problema em aberto a existência de infinitos primos gêmeos. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente.
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