Esquema de uma ponte de Wien: em verde o filtro e em azul o amplificador Uma ponte de Wien é um oscilador eletrônico que gera ondas sinusoidais sem fonte de entrada.
História A ponte de Wien foi desenvolvida originalmente por Max Wien em 1891. O circuito moderno é derivado da tese de mestrado de William Hewlett em 1939. Hewlett, com David Packard, co-fundou Hewlett-Packard. O primeiro produto da firma foi o HP 200A, um oscilador baseado na ponte de Wien. O 200A é um instrumento clássico conhecido pela baixa distorção do sinal de saída.
Modelagem Esquema de um oscilador Considere v i {\displaystyle v_{i}} e v o {\displaystyle v_{o}} as tensões de entrada e saída do amplificador e I o {\displaystyle I_{o}} a corrente de saída do mesmo. Obtêm-se as seguintes equações para os nós do circuito:
I o = v i R 2 + C 2 d v i d t ( 1 ) {\displaystyle I_{o}={\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\quad (1)} d d t ( v o − v i ) = R 1 d I o d t + I o C 1 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v_{o}-v_{i}\right)=R_{1}{\frac {dI_{o}}{dt}}+{\frac {I_{o}}{C_{1}}}\quad (2)} Substituindo ( 1 ) {\displaystyle (1)\,} em ( 2 ) {\displaystyle (2)\,} , tem-se:
d d t ( v o − v i ) = R 1 d d t ( v i R 2 + C 2 d v i d t ) + 1 C 1 ( v i R 2 + C 2 d v i d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v_{o}-v_{i}\right)=R_{1}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\right)+{\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {v_{i}}{R_{2}}}+C_{2}{\frac {dv_{i}}{dt}}\right)} Que pode ser simplificado em
R 1 C 2 d 2 v i d t 2 + ( 1 + R 1 R 2 + C 2 C 1 ) d v i d t + ( 1 C 1 R 2 ) v i − d v o d t = 0 {\displaystyle R_{1}C_{2}{\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left(1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}+{\frac {C_{2}}{C_{1}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{C_{1}R_{2}}}\right)v_{i}-{\frac {dv_{o}}{dt}}=0} ou, equivalentemente:
d 2 v i d t 2 + ( R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 R 1 R 2 C 1 C 2 ) d v i d t + ( 1 R 1 R 2 C 1 C 2 ) v i − 1 R 1 C 2 d v o d t = 0 ( 3 ) {\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left({\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right)v_{i}-{\frac {1}{R_{1}C_{2}}}{\frac {dv_{o}}{dt}}=0\quad (3)}
Solução
Caso linear Quando a relação entre v i {\displaystyle v_{i}\,} e v o {\displaystyle v_{o}\,} é linear, ou seja:
v 0 = k v i {\displaystyle v_{0}=kv_{i}\,} para alguma constante K {\displaystyle K\,} , ( 3 ) {\displaystyle (3)\,} recai em:
d 2 v i d t 2 + ( R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 − k R 2 C 1 R 1 R 2 C 1 C 2 ) d v i d t + ( 1 R 1 R 2 C 1 C 2 ) v i = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+\left({\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}-kR_{2}C_{1}}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+\left({\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}\right)v_{i}=0} Esta é uma Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Define-se o fator de amortecimento, a freqüência natural de oscilação e ganho crítico:
α := R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 − k R 2 C 1 2 ( R 1 R 2 C 1 C 2 ) 1 / 2 w 0 = 1 ( R 1 R 2 C 1 C 2 ) 1 / 2 k c = R 1 C 1 + R 2 C 1 + R 2 C 2 R 2 C 1 {\displaystyle \alpha :={\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}-kR_{2}C_{1}}{2\left(R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\right)^{1/2}}}\quad w_{0}={\frac {1}{\left(R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}\right)^{1/2}}}\quad k_{c}={\frac {R_{1}C_{1}+R_{2}C_{1}+R_{2}C_{2}}{R_{2}C_{1}}}} Nestes termos, a equação se escreve:
d 2 v i d t 2 + 2 α w 0 d v i d t + w 0 2 v i = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}+2\alpha w_{0}{\frac {dv_{i}}{dt}}+w_{0}^{2}v_{i}=0} A solução geral desta equação é dada por:
v i := C 1 e λ 1 t + C 2 e λ 2 t {\displaystyle v_{i}:=C_{1}e^{\lambda _{1}t}+C_{2}e^{\lambda _{2}t}} onde λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}\,} e λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}\,} são as raízes da equação do segundo grau :[ 1]
λ 2 + 2 α w 0 λ + w 0 2 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+2\alpha w_{0}\lambda +w_{0}^{2}=0} Assim, temos:
λ 1 , 2 = ( − α ± α 2 − 1 ) w 0 {\displaystyle \lambda _{1,2}=\left(-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-1}}\right)w_{0}} Os autovalores λ 1 , 2 {\displaystyle \lambda _{1,2}\,} possuem parte imaginária não nula quando | α | < 1 {\displaystyle |\alpha |<1\,} , neste caso a solução geral é dada por:
v i := A 1 e σ t sin ( w t ) + A 2 e σ t cos ( w t ) {\displaystyle v_{i}:=A_{1}e^{\sigma t}\sin(wt)+A_{2}e^{\sigma t}\cos(wt)\,} onde: σ = − w 0 α w = w 0 1 − α 2 {\displaystyle \sigma =-w_{0}\alpha \quad \quad w=w_{0}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\,}
Observam-se aqui três casos distintos:
Fator de amortecimento positivo ( k > k c ⇒ α > 0 ⇒ σ < 0 ) {\displaystyle \left(k>k_{c}\Rightarrow \alpha >0\Rightarrow \sigma <0\right)\,} : o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes crescem exponencialmente com tempo. Fator de amortecimento negativo ( k < k c ⇒ α < 0 ⇒ σ > 0 ) {\displaystyle \left(k<k_{c}\Rightarrow \alpha <0\Rightarrow \sigma >0\right)\,} : o sistema apresenta oscilações cujas amplitudes decaem exponencialmente com tempo. Fator de amortecimento nulo ( k = k c ⇒ α = σ = 0 ) {\displaystyle \left(k=k_{c}\Rightarrow \alpha =\sigma =0\right)\,} : o sistema apresenta oscilações com amplitude constante.
Caso não linear Oscilador com amplificador não linear. Na prática, torna-se impossível construir um oscilador com fator de amortecimento exatamente igual a zero. Daí a necessidade de construir circuitos não lineares que controlem a amplitude de saída. As duas técnicas de controle mais utilizadas na prática são:
Controlar o ganho k {\displaystyle k\,} do amplificador, de forma que k {\displaystyle k\,} aumente quando as amplitudes forem inferiores à desejada e diminua quando as amplitudes ultrapassarem o valor desejado. Este técnica é chamada de controle automático de ganho . Construir um amplificador não-linear (conformador) de forma que a relação entre v i {\displaystyle v_{i}\,} e v o {\displaystyle v_{o}\,} seja dada por uma relação da forma: v o = f ( v i ) {\displaystyle v_{o}=f(v_{i})\,} Onde f {\displaystyle f\,} é tipicamente uma função ímpar tal que: d f ( v i ) d v i > k c , v i = 0 {\displaystyle {\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}>k_{c},~~v_{i}=0\,} d 2 f ( v i ) d 2 v i < 0 , em torno de v i = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}f(v_{i})}{d^{2}v_{i}}}<0,~~{\hbox{em torno de }}v_{i}=0\,}
Quando o circuito é construído usando um amplificador não-linear, tal que:
v o = f ( v i ) {\displaystyle v_{o}=f(v_{i})\,} a equação diferencial que rege as oscilições é dada por:
d 2 v i d t 2 − β ( k ( v i ) − k c ) d v i d t + w 0 2 v i = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}v_{i}}{dt^{2}}}-\beta \left(k(v_{i})-k_{c}\right){\frac {dv_{i}}{dt}}+w_{0}^{2}v_{i}=0} onde β = 1 R 1 C 2 {\displaystyle \beta ={\frac {1}{R_{1}C_{2}}}} e
k ( v i ) = d f ( v i ) d v i {\displaystyle k(v_{i})={\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}\,} Uma aproximação consiste em supor a existência de uma solução períodica de período T {\displaystyle T\,} e analisar apenas a sua primeira harmônica v i {\displaystyle v_{i}\,} , :
v i = A sin ( 2 π t / T ) {\displaystyle v_{i}=A\sin(2\pi t/T)\,} O ganho ponderado do amplificador linear para esta componente do sinal será dado por:
k ~ ( A ) = 1 A T 2 ∫ 0 T f ( A sin ( 2 π t / T ) ) sin ( 2 π t / T ) d t {\displaystyle {\tilde {k}}(A)={\frac {1}{AT{\sqrt {2}}}}\int _{0}^{T}f\left(A\sin(2\pi t/T)\right)\sin(2\pi t/T)dt\,} Temos que k ~ ( A ) {\displaystyle {\tilde {k}}(A)\,} é uma função da amplitude A {\displaystyle A\,} , mas não depende do período T {\displaystyle T\,} . Para pequenas oscilações, o ganho é dado por:
lim A → 0 k ~ ( A ) = d f ( v i ) d v i | v i = 0 > k c {\displaystyle \lim _{A\to 0}{\tilde {k}}(A)=\left.{\frac {df(v_{i})}{dv_{i}}}\right|_{v_{i}=0}>k_{c}\,} Se a função f {\displaystyle f\,} tiver derivada segunda negativa, então k ~ ( A ) {\displaystyle {\tilde {k}}(A)\,} é uma função decrescente em A {\displaystyle A\,} . Vamos supor que existe uma amplitude crítica A c {\displaystyle A_{c}\,} tal que:
k ~ A c { > k c , A < A c = k c , A = A c < k c , A > A c {\displaystyle {\tilde {k}}{A_{c}}\left\{{\begin{array}{ll}>k_{c},&A<A_{c}\\=k_{c},&A=A_{c}\\<k_{c},&A>A_{c}\end{array}}\right.} então a solução A c sin ( w o t ) {\displaystyle A_{c}\sin(w_{o}t)\,} aproxima um ciclo limite estável da equação.
Notas e referências ↑ Quando λ 1 = λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}} , a solução geral é dada por v i := C 1 e λ 1 t + C 2 t e λ 1 t {\displaystyle v_{i}:=C_{1}e^{\lambda _{1}t}+C_{2}te^{\lambda _{1}t}} Este artigo sobre eletrônica é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o .