Em matemática , um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:
B i n ( x ) = ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i {\displaystyle B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}} O conjunto { B i n } i = 0 n {\displaystyle \{B_{i}^{n}\}_{i=0}^{n}} forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se P ( x ) {\displaystyle P(x)} é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:
P ( x ) = ∑ i = 0 n β i ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i {\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}{n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}} Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.
Exemplo Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3 No caso dos polinômios de grau 3 {\displaystyle 3} a base é composta de:
B 0 3 ( x ) = ( 3 0 ) x 0 ( 1 − x ) 3 − 0 = ( 1 − x ) 3 {\displaystyle B_{0}^{3}(x)={3 \choose 0}x^{0}(1-x)^{3-0}=(1-x)^{3}} B 1 3 ( x ) = ( 3 1 ) x 1 ( 1 − x ) 3 − 1 = 3 x ( 1 − x ) 2 {\displaystyle B_{1}^{3}(x)={3 \choose 1}x^{1}(1-x)^{3-1}=3x(1-x)^{2}} B 2 3 ( x ) = ( 3 2 ) x 2 ( 1 − x ) 3 − 2 = 3 x 2 ( 1 − x ) {\displaystyle B_{2}^{3}(x)={3 \choose 2}x^{2}(1-x)^{3-2}=3x^{2}(1-x)} B 3 3 ( x ) = ( 3 3 ) x 3 ( 1 − x ) 3 − 3 = x 3 {\displaystyle B_{3}^{3}(x)={3 \choose 3}x^{3}(1-x)^{3-3}=x^{3}} Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:
P ( x ) = c 0 B 0 3 ( x ) + c 1 B 1 3 ( x ) + c 2 B 2 3 ( x ) + c 3 B 3 3 ( x ) {\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{3}(x)+c_{1}B_{1}^{3}(x)+c_{2}B_{2}^{3}(x)+c_{3}B_{3}^{3}(x)}
Propriedades fundamentais Estes polinômios possuem propriedades importantes:
∑ i = 0 n B i n ( x ) = 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1} , Não-negatividade no intervalo de 0 a 1: B i n ( x ) ≥ 0 , ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle B_{i}^{n}(x)\geq 0,\in [0,1]} , B i n ( x ) = ( 1 − x ) B i n − 1 ( x ) + x B i − 1 n − 1 ( x ) {\displaystyle B_{i}^{n}(x)=(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x)} . B i n ( x ) = B n − i n ( 1 − x ) {\displaystyle B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x)} B i n ( x ) B j m ( x ) {\displaystyle B_{i}^{n}(x)B_{j}^{m}(x)} = ( n i ) ( m j ) ( n + m i + j ) B n + m i + j ( x ) {\displaystyle ={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{n+m}^{i+j}(x)} d d x B i n ( x ) = n ( B i − 1 n − 1 ( x ) − B i n − 1 ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{i}^{n}(x)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(x)-B_{i}^{n-1}(x)\right)} ficando bem convencionado que B i n ( x ) = 0 se i < 0 ou i > n {\displaystyle B_{i}^{n}(x)=0{\hbox{ se }}i<0{\hbox{ ou }}i>n} Representação em grau superior: B i n ( x ) = n + 1 − i n + 1 B i n + 1 ( x ) + i + 1 n + 1 B i + 1 n + 1 ( x ) {\displaystyle B_{i}^{n}(x)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(x)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(x)} B i n ( x ) {\displaystyle B_{i}^{n}(x)\,} assume valor máximo no intervalo [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]\,} em x = i n {\displaystyle x={\frac {i}{n}}\,} . Este máximo é local se 0 < i < n {\displaystyle 0<i<n\,} . A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:
[ x + ( 1 − x ) ] n = ∑ i = 0 n ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i {\displaystyle [x+(1-x)]^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}} A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal . As demais também são mostradas por simples verificação.
Representação de x k {\displaystyle x^{k}} Para obter uma representação de x k {\displaystyle x^{k}} como polinômio de Bernstein, escreva:
( u + v ) n = ∑ i = 0 n ( n i ) u i v n − i {\displaystyle (u+v)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}u^{i}v^{n-i}} Agora diferencie em relação a u {\displaystyle u} e multiplique por u/n para obter:
u ( u + v ) n − 1 = ∑ i = 0 n ( n i ) i n u i v n − i {\displaystyle u(u+v)^{n-1}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i}{n}}u^{i}v^{n-i}} se fizermos u = x {\displaystyle u=x} e v = 1 − x {\displaystyle v=1-x} , temos:
x = ∑ i = 0 n ( n i ) i n x i ( 1 − x ) n − i = ∑ i = 0 n i n B i n ( x ) , n ≥ 1 {\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i}{n}}x^{i}(1-x)^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {i}{n}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 1} Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:
u 2 ( u + v ) n − 2 = ∑ i = 0 n ( n i ) i ( i − 1 ) n ( n − 1 ) u i v n − i {\displaystyle u^{2}(u+v)^{n-2}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\frac {i(i-1)}{n(n-1)}}u^{i}v^{n-i}} e teríamos obtido:
x 2 = ∑ i = 2 n i ( i − 1 ) n ( n − 1 ) B i n ( x ) , n ≥ 2 {\displaystyle x^{2}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {i(i-1)}{n(n-1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 2} Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para k ≤ n {\displaystyle k\leq n} :
x k = ∑ i = k n i ( i − 1 ) … ( i − k + 1 ) n ( n − 1 ) … ( n − k + 1 ) B i n ( x ) , n ≥ 3 {\displaystyle x^{k}=\sum _{i=k}^{n}{\frac {i(i-1)\ldots (i-k+1)}{n(n-1)\ldots (n-k+1)}}B_{i}^{n}(x),~n\geq 3}
Polinômio de Bernstein associado a uma função Seja f ( x ) : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f(x):[0,1]\to \mathbb {R} } , o polinômio de Bernstein de grau n associado a f ( x ) {\displaystyle f(x)} é dado por:
P n ( x ) = ∑ i = 0 n f ( i n ) B i n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(x)} [ 1] Se f ( x ) {\displaystyle f(x)} for uma função contínua , então P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} converge uniformemente para f ( x ) {\displaystyle f(x)} quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.
{\displaystyle }
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↑ «Faça exemplos com O Monitor ». omonitor.io . Consultado em 24 de março de 2016