Em teoria dos números, um número de Proth é um número da forma
![{\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1622d6391f10fe4c6a5a127328e8495982c25b9e)
onde
é um número inteiro ímpar positivo e
é um inteiro positivo tal que
. São denominados em memória do matemático François Proth. Os primeiros números de Proth são
- 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241 (sequência A080075 na OEIS).
Os números de Cullen (números da forma n·2n + 1) e números de Fermat (números da forma 22n + 1) são casos especiais dos números de Proth. Sem a condição de que
, todos os inteiros ímpares maiores que 1 seriam números de Proth.[1]
Primos de Proth
Um primo de Proth é um número de Proth que é um número primo. Os primeiros primos de Proth são
- 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 (OEIS: A080076).
A primalidade de um número de Proth pode ser testada com o teorema de Proth, que estabelece[2] que um número de Proth
é primo se e somente se existe um inteiro
para o qual
![{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453e7597834e9d24f6871d44b27fc6f35e14d48d)
O maior conhecido primo de Proth (em 2016) é
, que tem 9 383 761 dígitos.[3] Foi encontrado por Szabolcs Peter no distributed computing project do PrimeGrid anunciado em 6 de novembro de 2016.[4] É também o maior conhecido não-primo de Mersenne.[5]
Ver também
Referências
- ↑ Weisstein, Eric W. «Proth Number». MathWorld (em inglês)
- ↑ Weisstein, Eric W. «Proth's Theorem». MathWorld (em inglês)
- ↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Proth». The Prime Pages
- ↑ Van Zimmerman (30 de novembro de 2016) [9 Nov 2016]. «World Record Colbert Number discovered!». PrimeGrid
- ↑ Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Largest Known Primes». The Prime Pages
Ligações externas
- Grime, Dr. James. «78557 and Proth Primes» (video). YouTube. Brady Haran. Consultado em 2 de setembro de 2018
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Por fórmula | - Fermat (22n + 1)
- Mersenne (2p − 1)
- Duplo de Mersenne 22p−1 − 1)
- Wagstaff (2p + 1)/3
- Fatorial (n! ± 1)
- Euclides (pn# + 1)
- Cullen (n·2n + 1)
- Woodall (n·2n − 1)
- Leyland (xy + yx)
- Mills (⌊A3n⌋)
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Por propriedade | |
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Dependentes de base | |
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Padrões | - Gêmeos (p, p + 2)
- Chen
- Equilibrado (consecutivos p − n, p, p + n)
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Por dimensão | |
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Números compostos | |
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Tópicos relacionados | |
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Potências e números relacionados | |
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Da forma a × 2b ± 1 | |
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Outros números polinomiais | - Carol
- Hilbert
- Idôneo
- Kynea
- Leyland
- Números da sorte de Euler
- Repunit
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Números definidos recursivamente | |
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Possuindo um conjunto específico de outros números | |
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Expressáveis via somas específicas | - Não-hipotenusa
- Polido
- Prático
- Primário pseudoperfeito
- Ulam
- Wolstenholme
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Gerado via uma teoria dos crivos | |
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Relacionado a codificação | |
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Números figurados | 2D | |
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3D | centrado | - Tetraédrico centrado
- Cúbico centrado
- Octaédrico centrado
- Dodecaédrico centrado
- Icosaédrico centrado
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Não-centrado | - Tetraédrico
- Octaédrico
- Dodecaédrico
- Icosaédrico
- Stella octangula
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Piramidal | |
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4D | centrado | - Pentácoro centrado
- Triangular quadrado
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Não-centrado | |
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Pseudoprimos | - Número de Carmichael
- Pseudoprimo de Catalan
- Pseudoprimo elíptico
- Pseudoprimo de Euler
- Pseudoprimo de Euler–Jacobi
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- Pseudoprimo forte
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Números combinatoriais | - Bell
- Bolo
- Catalan
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- Euler
- Fuss–Catalan
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- Schröder–Hipparchus
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Funções aritméticas | Por propriedades de σ(n) | - Abundante
- Quase perfeito
- Aritmético
- Colossalmente abundante
- Descartes
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- Altamente abundante
- Altamente composto
- Hyperperfeito
- Multiplamente perfeito
- Perfeito
- Número prático
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- Quase perfeito
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- Superperfeito
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Por propriedades de Ω(n) | |
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Por propriedades de φ(n) | - Altamente cototiente
- Altamente totiente
- Não-cototiente
- Não-totiente
- Perfeito totiente
- Esparsamente totiente
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Por propriedades de s(n) | |
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