Uma matriz quadrada
é dita invertível (ou não singular) quando existe outra matriz denotada
tal que
![{\displaystyle A^{-1}\cdot A=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6700618dd12ac72d380d58dd88f1cf5804a19d)
e
![{\displaystyle A\cdot A^{-1}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ad23749b80fdd41270d782727cd703e4130544)
onde
é a matriz identidade.
Propriedades
Considerando-se
uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades:
- A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
- A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz:
[1] - A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa:
, ou seja,
[2] - A inversa de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número, ou seja,
![{\displaystyle {\left(n\cdot A\right)}^{-1}=n^{-1}\cdot A^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107ee201220478dab400fd1f2a9bb3b2c2243dc0)
- O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada, ou seja,
[2] - Em geral, uma matriz quadrada sobre um anel comutativo é invertível se e somente se o seu determinante é uma unidade do anel (se
)
Pré-multiplicação
A pré-multiplicação é útil quando se quer isolar uma matriz em um lado de uma equação. Por exemplo, sejam A, B e C matrizes, com A invertível, tais que
![{\displaystyle C=AB.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc697f1c2b00380d0930a76626f7c72fc9044743)
Para expressar a matriz B em termos das outras duas, basta multiplicar ambos os membros da igualdade pela inversa de A:[3]
![{\displaystyle B=A^{-1}AB=A^{-1}C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fafb3f504787ac14710043c22259d9e8f3f1945)
Inversa da matriz identidade
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Ver artigo principal: Matriz identidade
A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.
![{\displaystyle I^{-1}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba8e271f024771cad8d4320f4d6f5827bdfef02)
Isso ocorre pois:
![{\displaystyle I\cdot I=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dc4e91ee7a957f6599d686c4180edb234e2b52)
Determinação da inversa
Aplicação da definição de inversa
Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e1207f5627ee7c25ae686728932a90e82a0dba)
- Exemplo
- Se queremos descobrir a inversa da matriz
de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:
[4]
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462c3b098624612a63a559036b83cb9324eb8b23)
Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f0483ebd9559d4ed5594be2ecf53e3ffadf1c4)
Resolvendo essa multiplicação de matrizes somos conduzidos a um sistema de equações:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2a+c=1\\2b+d=0\\4a+3c=0\\4b+3d=1\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0021e88f6dd5c5cf08fd9178b1861207b43e7b7a)
Logo:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\-2&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a0fd870c16e4f45d4283d600c5a09366dc706c)
No caso de a matriz que queremos inverter não ser na realidade invertível, chegaríamos a um sistema impossível.
Solução analítica
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Ver artigo principal: Matriz adjunta
Escrever a transposta da matriz dos cofatores, conhecida como matriz adjunta, também pode ser uma forma eficiente de se calcular a inversa de matrizes pequenas, mas esse método recursivo é ineficiente para matrizes grandes. Para obter a inversa, calcula-se a matriz dos cofatores:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4e177c29cde1bd02f317dc26fa103ba0544988)
em que |A| é o determinante de A, Cij é a matriz dos cofatores, e CT representa a matriz transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta).
Para a maioria das aplicações práticas, não é necessário inverter uma matriz para resolver um sistema de equações lineares; no entanto, para que haja uma solução única, é preciso que a matriz envolvida seja invertível.
Técnicas de decomposição tais como a decomposição LU são muito mais rápidas do que a inversão, e foram desenvolvidos diversos algoritmos para tipos especiais de sistemas lineares.
Inversão de matrizes 2×2
A equação de cofatores listada acima produz o seguinte resultado no caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2. A inversão dessas matrizes pode ser feita facilmente como segue:[5]
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a8751028ada0283831f5c2856520c4818675da)
Logo, inverte-se a ordem dos elementos da diagonal principal e troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Isso é possível porque 1/(ad-bc) é o inverso do determinante da matriz em questão, e a mesma estratégia pode ser usada para matrizes de outros tamanhos.
Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan
Uma outra forma de determinar a inversa duma matriz é utilizando a eliminação de Gauss-Jordan .
Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. De seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade tornou-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:
Exemplo: Partimos da mesma matriz do exemplo anterior:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\overrightarrow {L_{2}\leftarrow (L_{2}-2L_{1})}}{\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-2&1\end{bmatrix}}{\overrightarrow {L_{1}\leftarrow (L_{1}-L_{2})}}{\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&-1\\-2&1\end{bmatrix}}{\overrightarrow {L_{1}\leftarrow (L_{1}/2)}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-2&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb606404ee40bf784d2264cc92a9eabd6428fd2)
A última matriz é a inversa procurada:
Determinação da matriz inversa pela matriz adjunta
Existe uma maneira de calcular a matriz inversa utilizando-se da matriz adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores). Este método não é muito eficiente, porém pode vir a ser útil quando se conhece os determinantes das submatrizes.
Para calcular um cofator, utilizaremos da seguinte fórmula:
Onde i é a linha, j a coluna, e
é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.
Após criarmos uma matriz de cofatores, calculamos sua adjunta, que nada mais é que a transposta da matriz de cofatores. Em linguagem matemática, temos:
e então aplicamos a seguinte fórmula:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ed3c3ced37a7429012185355c7f5326fd52e72)
então teremos a matriz inversa de A. Exemplo:
Seja :
Seus cofatores serão:
Então teremos a matriz de cofatores
e sua adjunta será a transposta dessa matriz, portanto:
e como
temos:
.
Matriz em blocos
Estas fórmulas, desenvolvidas por Hans Bolz (1923) e Tadeusz Banachiewicz (1937), permitem inverter uma matriz escrita em forma de blocos:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} (\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\\-(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} )^{-1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3097ebec4eac9b025540d9a650ecdbe9ce6124bf)
ou:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&-(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} (\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} )^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c196e5b514ae3349c1d983c907fee20c0f5db9a5)
Os blocos podem ser de qualquer tamanho, desde que A e D sejam matrizes quadradas.
Referências
- ↑ Ricon, Mauro; Fampa, Márcia (2016). «Álgebra Linear. Aula 9: matriz inversa» (PDF). UFRJ. Consultado em 27 de setembro de 2017
- ↑ a b «Álgebra Linear - Matriz Inversa». Consultado em 13 de março de 2019
- ↑ Wolfram Alpha. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html. Acesso em: 24 de junho de 2011.
- ↑ «Matriz Inversa, Desmonstrações e Exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estátistica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 17 de julho de 2018
- ↑ Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8 , Chapter 2, page 71