Matriz idempotente
Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. [1][2] Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se [3]. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.
Propriedades
- Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.[4]
- Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:
- Se uma matriz A é idempotente, a matriz também é.[3]
Matriz de projeção
É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.[5] Seja uma matriz de dimensão com posto . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:
, onde denota a matriz transposta de X e denota a matriz inversa da matriz . Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que [6].
- Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes e de tal forma que , então
- :[7]
Por exemplo, sejam as matrizes . Então,
- A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)[7]:
- P é sempre positiva semi-definida.
- Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.
Matriz de aniquilação
- Matriz de aniquilação: . Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que .[6]
A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários
- , sendo matrizes, poderemos definir
- e
E então podemos estimar os coeficientes separadamente[8]:
Notas
Referências
- CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
- Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80.
- Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809.
- WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
- HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
- HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
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