Em matemática, uma matriz circulante é uma matriz quadrada em que cada linha i é formada por um deslocamento cíclico de i posições de uma mesma lista de elementos {a0,a1,a2 ... an-1}, ou seja
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{n-1}&a_{0}&a_{1}&\ddots &&\vdots \\a_{n-2}&a_{n-1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{1}&a_{2}\\\vdots &&\ddots &a_{n-1}&a_{0}&a_{1}\\a_{1}&\ldots &\ldots &a_{n-2}&a_{n-1}&a_{0}\end{bmatrix}}\qquad \qquad (1a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b364f38a8b82fd45c2bf72564f72eaa2c38628e3)
que é um caso especial de matriz de Toeplitz. Toda matriz circulante é um quadrado latino. Uma definição alternativa e equaivalente a (1a) é
![{\displaystyle \mathbf {A} _{k,j}=a_{(j-k)\;mod\;n}\qquad 0\;\leq \;k,j\;\leq \;n-1\qquad (1b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcc18ddef0606a3d9acd823e8afaa184011fb9c)
onde mod é a função módulo e n é o número de linhas de A[1][2][3].
Autovalores e autovetores
Os autovalores λ e autovetores v de A são facilmente calculados:
![{\displaystyle \lambda _{m}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\cdot e^{\frac {-2\pi imk}{n}}\qquad 0\;\leq \;m\;\leq \;n-1\qquad (2a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459d22dbdb18790fcee3562fb38ab127937bf9c9)
![{\displaystyle \mathbf {v} _{m}={\sqrt {\frac {1}{n}}}\;\left[1,e^{\frac {-2\pi im}{n}},\;...\;e^{\frac {-2\pi im(n-1)}{n}}\right]\qquad 1\;\leq \;m\;\leq \;n-1\qquad (2b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a722008708e8994d4de6ea04189243139cb95be0)
A equação (2a) indica que os autovalores de uma matriz circulante qualquer são a transformada discreta de Fourier (DFT) do vetor a = [a0,a1,a2 ... an-1]. Por isso vale também a relação inversa
![{\displaystyle a_{k}={\frac {1}{n}}\;\sum _{j=0}^{n-1}\lambda _{j}\cdot e^{\frac {-2\pi ijk}{n}}\qquad 0\;\leq \;k\;\leq \;n-1\qquad (3a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e92e820ebfae6937748da37d170dd37e0b354a3)
Em suma, a sequência dos autovalores de uma matriz circulante são iguais à DFT da primeira linha dessa matriz, e essa primeira linha da matriz é igual à DFT inversa da sequência dos autovalores.
A propriedade elementar dos autovalores λ e dos autovetores v de uma matriz qualquer B
![{\displaystyle \mathbf {B} \;\mathbf {v} _{m}=\lambda _{m}\;\mathbf {v} _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5010c7561745a9c78dbed382c6f54bd61a037192)
pode ser escrita de forma alternativa e equivalente como
![{\displaystyle \mathbf {B} \;\mathbf {V} =\mathbf {V} \;\mathbf {\Lambda } \qquad (2c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4d5f44ca5549b2ba554bce7d5e1c8d4f3cbfae)
onde V é a matriz composta pelos autovetores dispostos verticalmente
![{\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{0}&\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\ldots &\ldots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}}\qquad (2d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0bc2c29bc24642a68553bb20878bcbe9cdd96e)
e Λ é a matriz diagonal formada pelos autovalores
![{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{0}&0&0&\ldots &\ldots &0\\0&\lambda _{1}&0&\ddots &&\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0&0\\\vdots &&\ddots &0&\lambda _{n-2}&0\\0&\ldots &\ldots &0&0&\lambda _{n-1}\end{bmatrix}}\qquad \qquad (2e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443cce03eb9024f828594f1f67647f564a494a70)
A equação (2b) garante que, para toda matriz circulante, V é uma matriz unitária e que
![{\displaystyle \mathbf {V} \;\mathbf {V} ^{*}=\mathbf {V} ^{*}\;\mathbf {V} =\mathbf {I} \qquad (2f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675178e3c846a9cef002516b5a9b7b3639b587f2)
onde o asterisco (*) denota a matriz transposta conjugada e I é a matriz identidade de n linhas. Substituindo (2f) em (2c), temos que, para uma matriz circulante qualquer A
![{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {V} \;\mathbf {\Lambda } \;\mathbf {V} ^{*}\qquad (2g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86b02f952ab169f532d17ffc2912f97716139d2)
![{\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathbf {V} ^{*}\;\mathbf {A} \;\mathbf {V} \qquad (2h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ad56081032c6b59b2c9be7cfc5c19e084a9c59)
A equação (2g) indica que toda matriz circulante é uma matriz normal[4][nota 1].
Propriedades algébricas
Se A e C são matrizes circulantes, então valem as seguintes propriedades:
Produto
![{\displaystyle \mathbf {A} \;\mathbf {C} =\mathbf {C} \;\mathbf {A} =\mathbf {D} =\mathbf {V} \;\mathbf {L} \;\mathbf {V} ^{*}\qquad (4a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c251c2f48be933b210fa53e629ea956e812b4f07)
onde L é a matriz diagonal cujos elementos são o produto dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.
Adição
![{\displaystyle \mathbf {A} \;+\;\mathbf {C} =\mathbf {D} =\mathbf {V} \;\mathbf {L} \;\mathbf {V} ^{*}\qquad (4b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f878f0e0bb0a2b28fe7374a541884dbfed088069)
onde L é a matriz diagonal cujos elementos são a soma dos respectivos autovalores de A e de C. D é também uma matriz circulante.
Inversa
Se nenhum autovalor for nulo, então A é inversível e
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {V} \;\mathbf {\lambda } ^{-1}\;\mathbf {V} ^{*}\qquad (4c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a95a1ef32f0f7b650df9549b6b6639e03b856f)
A-1 é também uma matriz circulante[5][3].
Linearidade
Se a e b são escalares, então D = aA + bC é também uma matriz circulante[3].
Notas
- ↑ Como V é unitária, V* = V-1, (2g) e (2h) podem ser escritas também assim:
![{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {V} \;\mathbf {\Lambda } \;\mathbf {V} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09380867935067839eb2b584a79d3ce566b408e)
![{\displaystyle \mathbf {\Lambda } =\mathbf {V} ^{-1}\;\mathbf {A} \;\mathbf {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3e5b0cba9ba7d7fc18338272cc5cc0b8dafb37)
Referências
- ↑ Gray, R. - Toeplitz and Circulant Matrices: A review, cap. 1, pág. 3, disponível em http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf, acessado em 06/05/2014
- ↑ MathWorld: Circulant Matrix, disponível em http://mathworld.wolfram.com/CirculantMatrix.html, acessado em 06/05/2014
- ↑ a b c Bronson, R. - Matrix Operations, cap. 18, pág. 160, 1989, McGraw-Hill, ISBN 0-07-007978-1
- ↑ Gray, R. - op. cit., cap. 3, pp. 32 a 34
- ↑ Gray, R. - op. cit., cap. 3, pp. 34 a 35