Mapa de Hénon

O mapa de Hénon,^[1] proposto originalmente em 1976 por Michel Hénon, é um sistema dinâmica de tempo discreto. É definido pela equação de recorrência

$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {f} \left(\mathbf {x} _{n}\right)=\left({\begin{array}{c}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}y_{n}+1-ax_{n}^{2}\\bx_{n}\end{array}}\right)}$$

em que ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são parâmetros fixos. Para alguns valores de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ verifica-se que esse sistema gera sinais caóticos.^[2] Por exemplo, para ${\displaystyle a=1.4}$ e ${\displaystyle b=0.3}$ que foram utilizados no trabalho original de Hénon.^[1]

Os expoentes de Lyapunov das órbitas que são atraídas para o atrator podem ser obtidos numericamente resultando ${\displaystyle h^{(1)}=0.42}$ e ${\displaystyle h^{(2)}=-1.62}$.^[2] O expoente positivo e o aspecto aperiódico dos sinais obtidos levam a concluir que ela é caótica.

Uma generalização para três dimensões do mapa de Hénon foi proposta por Hitz e Zele.^[3] Ela é dada por

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$.

Para ${\displaystyle \alpha =1.07}$ e ${\displaystyle \beta =0.3}$ verifica-se que quase todas as condições iniciais dentro da esfera unitária geram sinais caóticos cujo maior expoente de Lyapunov é ${\displaystyle 0.23}$.^[3]

Diversas outras generalizações têm sido propostas na literatura. Pode-se gerar, por exemplo, sinais caóticos limitados em banda utilizando-se filtros digitais na realimentação do sistema^[4],^[5].