O método de d'Alembert, introduzido por Jean le Rond d'Alembert (matemático francês), permite transformar uma equação diferencial linear de ordem
numa outra equação linear de ordem
a partir de uma solução particular conhecida.
No caso de uma equação diferencial linear de segunda ordem, se for conhecida uma solução não trivial de uma EDOLH, empregando o método de D’Alembert podemos determinar uma segunda solução linearmente independente da primeira. Para isto vamos ter que resolver uma EDO de primeira ordem. Essas duas soluções linearmente independentes vão constituir um sistema fundamental de soluções e vão nos permitir escrever a solução geral da EDOLH dada. Portanto, o método de D’Alembert é um método de redução de ordem: conhecendo uma solução não trivial de uma EDOLH de segunda ordem, sua resolução se reduz a resolver uma EDO de primeira ordem. Ou seja, este método permite calcular a solução geral a partir de uma solução particular.[1] Para calcular a solução geral utilizamos o método:
Seja
uma solução conhecida para a equação linear homogênea de segunda ordem, é procurado uma solução
Queremos que
seja solução de
,então calculando as derivadas
e
fazemos a substituição em:
Essa substituição resultará em uma equação do tipo:
Reorganizando os termos e lembrando que
, pois
é solução da equação diferencial ordinária homogênea, teremos que
satisfaz uma equação ordinária de segunda ordem redutível à primeira, do tipo:
A primitiva de
dá a função
que, multiplicada por
conduz à segunda solução da equação,
.[1] A solução geral será da forma:
Onde
e
são encontrados através das condições de contorno do problema.
Exemplo
Sabendo que
é solução da equação diferencial dada, encontre a solução geral
[2]
A solução geral encontra-se usando o método de D'Alembert
Esta última equação pode ser considerada uma equação de primeira ordem em que a variável dependente é
Separando as variáveis e integrando obtém-se
Referências
- ↑ a b Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas. Consultado em 13 de julho de 2013
- ↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 31 de março de 2016
Ver também
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Sistema de equações diferenciais
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Equações diferenciais parciais | |
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Métodos analíticos | |
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Métodos numéricos | |
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Pessoas | |
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Outros | |
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