Método de Rayleigh-Ritz

O método de Rayleigh-Ritz é um método de obtenção de resultados aproximados para Equação diferencial parcial. É semelhante ao Método de Galerkin em que são utilizadas funções testes que atendem as condições de contorno do problema em questão. Entretanto, a aplicação destas funções para aproximação é diferente do Método de Galerkin, uma vez que no Método de Galerkin, a função de aproximação é imposta diretamente na integral ponderada, enquanto no método de Rayleigh-Ritz, a função de aproximação é imposta após a obtenção da Forma Fraca do problema.

Dada uma equação diferencial genérica
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right)=q}$

e as condições de contorno

${\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u_{0}}$

${\displaystyle \left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{x=L}}$

Aplica-se a o método da Integral Ponderada, atribuindo pesos a função. Isso é feito trazendo o termo q(x) para o outro lado da equação, e multiplicando a equação diferencial por uma função peso w(x), de tal forma que o resultado é:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right)-q\right)w=0}$

Integrando a função obtemos

${\displaystyle \int _{0}^{L}\left({\frac {d}{dx}}\left(a(x){\frac {d}{dx}}u\right)-q\right)w\,dx}$

Realizando a integração por partes temos

${\displaystyle \int _{0}^{L}\left({\frac {d}{dx}}\left(a{\frac {d}{dx}}u\right)-q\right)w\,dx=\left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}-\int _{0}^{L}a(x){\frac {d}{dx}}w{\frac {d}{dx}}u\,dx+\int _{0}^{L}qw\,dx}$

Assim, temos

${\displaystyle \left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}-\int _{0}^{L}a(x){\frac {d}{dx}}w{\frac {d}{dx}}u\,dx+\int _{0}^{L}qw\,dx=0}$

Separando o termo dependente de u e w na esquerda, e os demais na direita temos

${\displaystyle \int _{0}^{L}a(x){\frac {d}{dx}}w{\frac {d}{dx}}u\,dx=\left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}-\int _{0}^{L}qw\,dx}$

Note que no termo ${\displaystyle \left(a\,w{\frac {d}{dx}}u\right){\Bigg |}_{0}^{L}}$ é onde podemos aplicar as condições de contorno do problema.

Assim sendo, a equação restante está na forma fraca genérica

${\displaystyle B(w,u)=l(w)}$

O método então busca aproximações para a solução desta equação, estimando a função ${\displaystyle u}$ por

${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0}}$

onde ${\displaystyle \left\{\phi _{j}\right\}_{j=1}^{N}}$ é o conjunto de funções previamente escolhidas satisfazendo as condições de contorno essencial homogênea do problema, e ${\displaystyle \phi _{0}}$ é a função que satisfaz a condição de contorno essencial do problema.

No método de Rayleigh-Ritz, os coeficientes${\displaystyle c_{j}}$ são obtidos substituindo a função peso ${\displaystyle w}$ por uma das funções de aproximação ${\displaystyle \phi _{i}}$. Como no método de Rayleigh-Ritz procura-se a solução ${\displaystyle u_{N}=\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0}}$ que a satisfaça, determinaremos os coeficientes ${\displaystyle c_{j}}$ pela substituição da função peso ${\displaystyle w}$ e a função ${\displaystyle u}$, pela função de aproximação ${\displaystyle \phi _{i}}$ e a aproximação ${\displaystyle u_{N}}$, respectivamente. Assim, faremos que no termo

${\displaystyle B(w,u)=l(w)}$

os termos

${\displaystyle w=\phi _{i}}$

e

${\displaystyle u=u_{N}=\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0}}$

Com isso, obtemos

${\displaystyle B(\phi _{i},\sum _{j=1}^{N}c_{j}\phi _{j}+\phi _{0})=l(\phi _{i}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i=1,2,3,\dots ,N)}$

Supondo a bilinearidade do operador B, simplifica-se para

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}B(\phi _{i},\phi _{j})c_{j}=l(\phi _{i})-B(\phi _{i},\phi _{0}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i=1,2,3,\dots ,N)}$

De maneira mais simplificada, fazendo

${\displaystyle B_{ij}=B(\phi _{i},\phi _{j})}$

${\displaystyle F_{i}=l(\phi _{i})-B(\phi _{i},\phi _{0})}$

Obtemos a forma simplificada como

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}B_{ij}c_{j}=F_{i},\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i=1,2,3,\dots ,N)}$

Isso representa um sistema de N equações algébricas a N incógnitas, com os coeficientes ${\displaystyle c_{j}}$, e o sistema possui solução única desde que a matriz ${\displaystyle B_{ij}}$ seja inversível.

O método de Rayleigh-Ritz é um dos métodos utilizados na análise através do Método dos Elementos Finitos. É um método bastante utilizado por oferecer menos restrições nas funções de aproximação ${\displaystyle \left\{\phi _{j}\right\}_{j=1}^{N}}$ . A grande diferença comparado ao Método dos resíduos ponderados é que o Método de Rayleigh-Ritz utiliza as mesmas funções peso ${\displaystyle w(x)}$ que foram utilizadas para as funções de aproximação ${\displaystyle \left\{\phi _{j}\right\}_{j=1}^{N}}$.

Introduction to the Finite Element Method, Reddy, J.N., McGraw-Hill, 1993, 2 nd. Edition
Fundamentals of Finite Element Analysis, Hutton D. V., McGraw-Hill, 2004 (*)
A First Course In Finite Elements, Fish J., Belytschko T., Wiley, 2007
The Finite Element Method, Hughes, Dover Publications (*)
The Finite Element Method, Zienkiewicz & Taylor, vol.1, 5th. Edition, Butterworth Heinemann (*)
Finite Element Analysis, Szab�o & Babuska, John Wiley & Sons, 1991 (*)
The Finite Element Method Using MATLAB, Kwong & Bang, CRC Press, 2 nd. Edition (*)