Localmente (topologia)

A expressão localmente, em topologia, é usada para se referir a uma propriedade que vale para todo ponto, em uma região suficientemente próxima.[1]

Mais precisamente, seja X um espaço topológico, então este espaço tem determinada propriedade localmente quando, para todo ponto p ∈ X {\displaystyle p\in X\,} e toda vizinhança aberta U de p, p ∈ U ⊆ X {\displaystyle p\in U\subseteq X\,} , existe uma vizinhança V [Nota 1] de p, p ∈ V ⊆ U {\displaystyle p\in V\subseteq U\,} , em que esta propriedade vale.[1]

Exemplos

  • Um espaço é localmente conexo por arcos em um ponto x quando toda vizinhança U de x contém uma vizinhança V tal que, para todo par de pontos em V, existe um arco contido em V [Nota 2] ligando estes dois pontos. Um espaço é localmente conexo por arcos se ele é localmente conexo por arcos em todos seus pontos.[2]
  • Um espaço T1 é localmente compacto quando todo ponto p tem uma vizinhança V cujo fecho é compacto.[3]
  • Um sistema de coordenadas [Nota 3] é cartesiano quando ds2 [Nota 4] é representado por uma forma com coeficientes constantes. Nem sempre é possível encontrar estas coordenadas, porém, para todo ponto p é possível encontrar um sistema de coordenadas que se comporta desta forma em uma vizinhança de p. Este sistema é chamado de localmente cartesiano ou localmente geodésico.[4]

Notas e referências

Notas

  1. ↑ No texto de Gamelin e Greene, a vizinhança V deve ser aberta, mas esta restrição não é necessária em geral.
  2. ↑ O texto de Lefschetz traz como o arco contido em U; não está errado mas não é a melhor forma de apresentar a propriedade.
  3. ↑ Definidos sobre uma variedade de Riemann.
  4. ↑ ds2 é a fórmula que representa a distância entre dois pontos "próximos", por exemplo, na superfície de uma esfera, usando coordenadas esféricas, d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 s i n 2 θ d ϕ 2 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi ^{2}\,} .

Referências

  1. ↑ a b Theodore W. Gamelin, Robert Everist Greene, Introduction to Topology: Second Edition, 7. Locally compact spaces, p.83 [google books]
  2. ↑ Solomon Lefschetz, Topics in Topology (1942), IV. Local connectedness and related topics, (1.4) Definition, p.76 [google books]
  3. ↑ Garrett Birkhoff, Lattice Theory, Volume 25, Parte 2 (1940), p.223 [google books]
  4. ↑ Tullio Levi-Civita, The Absolute Differential Calculus (calculus of Tensors) (1926), Part II, The Fundamental Quadratic Form and the Absolute Differential Calculus, Chapter VI, Covariant differentiation; invariants and differential parameters; locally geodesic co-ordinates, 11. Locally geodesic (or locally Cartesian) co-ordinates, p.164 [google books]