Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de n {\displaystyle n} lados qualquer, que se representa quer por D n {\displaystyle D_{n}} , quer por D 2 n {\displaystyle D_{2n}} . Sua presentação é dada por D n = ⟨ x , y : x n = 1 , y 2 = 1 , ( x y ) 2 = 1 ⟩ {\displaystyle D_{n}=\langle x,y:x^{n}=1,y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle } e D ∞ = ⟨ x , y : y 2 = 1 , ( x y ) 2 = 1 ⟩ . {\displaystyle D_{\infty }=\langle x,y:y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle .} [ 1]
Grafos de ciclos D 1 {\displaystyle D_{1}} D 2 {\displaystyle D_{2}} D 3 {\displaystyle D_{3}} D 4 {\displaystyle D_{4}} D 5 {\displaystyle D_{5}} D 6 {\displaystyle D_{6}} D 7 {\displaystyle D_{7}}
Propriedades O grupo possui 2 n {\displaystyle 2n} elementos: o elemento neutro, n − 1 {\displaystyle n-1} rotações próprias e n {\displaystyle n} reflexões. Para n > 2 , {\displaystyle n>2,} o grupo não é abeliano. O subgrupo das rotações é isomorfo ao grupo cíclico Z n , {\displaystyle \mathbb {Z} _{n},} e é um subgrupo normal
Exemplo As cinco simetrias não triviais do triângulo equilátero. Seja ABC um triângulo equilátero . Dentre as suas simetrias, temos:
e : o elemento neutro, ou seja, a transformação identidade que leva cada ponto do triângulo nele mesmo. ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} a rotação que leva A em B , B em C e C em A . ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} a rotação que leva A em C , C em B e B em A . σ A {\displaystyle \sigma _{A}} a simetria em torno da altura que passa por A . σ B {\displaystyle \sigma _{B}} a simetria em torno da altura que passa por B . σ C {\displaystyle \sigma _{C}} a simetria em torno da altura que passa por C . Não existem outras simetrias. Considerando * como a composição de funções , temos, por exemplo, que σ A ∗ ρ 1 {\displaystyle \sigma _{A}*\rho _{1}} leva A em C , B em B e C em A , ou seja, σ B = σ A ∗ ρ 1 . {\displaystyle \sigma _{B}=\sigma _{A}*\rho _{1}.} Por outro lado, ρ 1 ∗ σ A = σ C , {\displaystyle \rho _{1}*\sigma _{A}=\sigma _{C},} ou seja, o grupo não é abeliano. Completando as operações, chegamos à tabela:
Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero ⋆ {\displaystyle \star } e ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} e e ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} e σ C {\displaystyle \sigma _{C}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} e ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} e ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} e ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} σ C {\displaystyle \sigma _{C}} σ A {\displaystyle \sigma _{A}} σ B {\displaystyle \sigma _{B}} ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} e
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Teoria dos grupos
Noções básicas