Forma diferencial

Em geometria diferencial, uma forma diferencial é um objeto matemático pertencente a um espaço vetorial que aparece no cálculo multivariável, cálculo tensorial ou em física. Pode ser comumente entendida como um operador multilinear antissimétrico definido sobre o espaço vetorial tangente a uma variedade diferenciável. Em um espaço ou variedade de dimensão n, podem definir-se 0-formas, 1-formas, ... e n-formas. Pela propriedade da antissimetria, as k-formas para k > n são identicamente nulas.

O conceito de forma diferencial é uma generalização sobre ideias prévias como o gradiente, a divergência, o rotacional, etc. Essa generalização e a moderna notação usada no estudo das formas diferenciais se deve a Elie Cartan.

Relembrando algumas definições: Um k-Tensor em um Espaço vetorial V é um k-funcional linear ${\displaystyle f:V\times \dots \times V\to \mathbb {R} .}$ Um k-Tensor ${\displaystyle f}$ é alternado se, para qualquer permutação ${\displaystyle \sigma \in S_{k}}$, ${\displaystyle f(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(v_{1},\dots ,v_{k}),}$ onde ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ é a função Função sinal da permutação ${\displaystyle \sigma .}$ ^[1]

Uma k-forma diferencial em uma variedade M é um funcional ${\displaystyle \omega }$ que associa a cada ponto ${\displaystyle p\in M}$ um k-funcional ${\displaystyle \omega _{p}\in \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}$, onde ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ denota o espaço dual ao espaço tangente de ${\displaystyle M}$ em ${\displaystyle p}$ denotado por ${\displaystyle T_{p}M}$ e ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}$ é descrito como sendo o espaço vetorial de todos os k-tensores alternados em ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ .^[1]

O exemplo não trivial mais notável de uma forma diferencial é constituído pelas 1-formas, também chamadas formas pfaffianas. Essas formas são a maneira rigorosa de tratar os diferenciais das funções reais sobre uma variedade (para funções ordinárias a variedade é simplesmente o espaço euclidiano, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$). As 1-formas também aparecem em física, assim, por exemplo, as "diferenciais" das variáveis de estado usadas em termodinâmica são de fato 1-formas (ainda que o tratamento informal das mesmas despreze esse fato). Na geometria diferencial, o estudo das variedades diferenciáveis, as 1-formas atuam como funções lineares reais definidas sobre o espaço vetorial tangente à variedade diferencial que se está considerando. Assim pois o conjunto de todas as 1-formas definidas em um ponto da variedade é isomorfo ao espaço dual do espaço vetorial tangente neste ponto.

Outro exemplo, um tanto trivial, são as funções reais definidas sobre uma variedade, que podem ser tratadas formalmente como 0-formas. O nome é justificado porque existe um operador denominado diferencial exterior que aplica k-formas em k+1-formas; dado que a diferencial exterior de uma função real é 1-forma é conveniente se chamar 0-formas aos objetos matemáticos, como as funções reais, cuja diferencial é uma 1-forma. Assim, por exemplo, as funções de estado da termodinâmica, a lagrangiana da mecânica lagrangiana ou o hamiltoniano da mecânica hamiltoniana são de fato 0-formas definidas sobre os respectivos espaços de configuração ou espaços de fases do sistema físico.

Finalmente, e usando o maior nível de generalidade se definem as k-formas, uma forma de grau k, ou k-forma, é uma seção diferenciável da k-ésima potencia exterior do fibrado cotangente da variedade. Em qualquer ponto P em uma variedade, uma k-forma resulta em uma função multilinear desde a potência cartesiana k-ésima do espaço tangente em P a ℝ.

1. O conjunto de todas as k-formas definidas no espaço vetorial tangente de um ponto x de uma variedade se chama ${\displaystyle \Lambda _{x}^{k}}$.
2. O conjunto de todas as formas diferenciais sobre uma variedade de dimensão n, que resulta ser ${\displaystyle \Lambda _{x}=\Lambda _{x}^{0}\oplus \Lambda _{x}^{1}\oplus \dots \oplus \Lambda _{x}^{n}}$ , é a álgebra de Grassmann da variedade e é em si mesma um espaço vetorial de dimensão 2ⁿ.
3. Existe um operador, chamado diferencial exterior ${\displaystyle d:\Lambda _{x}^{k-1}\to \Lambda _{x}^{k}\qquad 1\leq k\leq n}$
4. Uma k-forma diferencial ${\displaystyle \omega \,}$ se chama fechada se seu diferencial exterior é zero, ou seja, ${\displaystyle d\omega =0\,}$.
5. Uma k-forma diferencial ${\displaystyle \alpha \,}$ se denomina exata se existe outra uma (k-1)-forma ${\displaystyle \beta \,}$ tal que sua derivada exterior é precisamente ${\displaystyle \alpha \,}$, ou seja, ${\displaystyle \alpha =d\beta \,}$.

Ver artigo principal: Teorema de Stokes

Em uma variedade diferenciável de dimensão ${\displaystyle n\geq k}$ pode-se definir o análogo da longitude de uma curva, a área de uma superfície, o volume, ou em geral o k-volume.

Cada um dos conceitos métricos anteriores é calculado como a integração de uma forma diferencial sobre um subconjunto da variedade diferenciável. Assim o conceito de longitude está associado com 1-formas, o de área com 2-formas (elemento de área), o de volume com 3-formas (elemento de volume), etc.

Matematicamente, as formas diferenciáveis de grau k podem ser integradas sobre cadeias k dimensionais ou mais geralmente conjuntos de dimensão topológica k. Se k = 0, isto é simplesmente a avaliação de funções nos pontos. Outros valores de k = 1, 2, 3 correspondem às integrais de linha, às integrais superficiais, às integrais de volume, etc. Um resultado muito importante, relacionado com a integração de formas se chama teorema de Stokes (do qual a regra de Barrow para integrais ou o teorema da divergência são casos particulares).

O conjunto de todas as k-formas em uma variedade são um espaço vetorial. Além disso, há duas outras operações: "cunha" e derivada exterior. Ver cohomologia de Rham para mais detalhes.

A relação fundamental entre a derivada exterior e a integração é dada pelo teorema de Stokes generalizado, que também proporciona a dualidade entre a cohomologia de Rham e a homologia de cadeias.

Em física, o uso de formas diferenciais é comum em várias áreas, por exemplo, a termodinâmica e a teoria da relatividade.

Em termodinâmica é prática comum chamar formas pfaffianas às 1-formas. Lamentavelmente, a maior parte dos manuais recorre ao uso convencional destes objetos de uma forma pouco ou nada rigorosa. Igualmente se pode chamar diferenciais exatas às 1-formas exatas.

Referências

• Bachman, David (2006), A Geometric Approach to Differential Forms, Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4499-4
• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
• Fleming, Wendell H. (1965), "Chapter 6: Exterior algebra and differential calculus", Functions of Several Variables, Addison-Wesley, pp. 205–238 . Este livro texto em cálculo multivariável introduz a álgebra exterior algebra de formas diferenciais no cálculo de nível superior
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Menlo Park, CA: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-9021-9
• Zorich, Vladimir A. (2004), Mathematical Analysis II, Springer, ISBN 3-540-40633-6

• Weistein, Eric W., "Differential form" no MathWorld.
• Sjamaar, Reyer (2006), Manifolds and differential forms lecture notes, um curso apresentado na Cornell University.