Fecho de Kleene

Na lógica matemática e na ciência da computação, o fecho de Kleene, estrela de Kleene ou operador de Kleene, é uma operação unária aplicada a conjuntos. A aplicação do fecho de Kleene num conjunto V é escrito como V* (lê-se fecho de Kleene de V ou simplesmente V-estrela). É uma operação muito usada em expressões regulares, no contexto em que foi introduzida por Stephen Kleene para caracterizar certos tipos de autômatos.

Se V é uma linguagem, então V* é o menor superconjunto de V que contém ε (denominado cadeia vazia) e é fechado numa operação de concatenação. Esse conjunto também pode ser descrito como o conjunto de todos elementos que podem ser formados através da concatenação de zero ou mais elementos de V.
Se V é um alfabeto, então V* é o conjunto de todas as cadeias finitas de símbolos de V, incluindo a cadeia vazia.

Definição e notação

Dado V₀ = { ε } definimos recursivamente o conjunto V_i+1 = { wv : w ∈ V_i e v ∈ V } onde i ≥ 0. Se V é uma linguagem formal, então V_i representa a concatenação do conjunto V com si mesmo i vezes. Em outras palavras, V_i representa o conjunto de todas as cadeias de tamanho i, formada pelos elementos em V.

Assim, a definição do fecho de Kleene sobre a linguagem formal V é

V^{*}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} \cup \{0\}}V_{i}=\left\{\varepsilon \right\}\cup V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \dots

Isto é, é a coleção de todas as cadeias finitas geradas a partir dos elementos em V.

Na literatura, especialmente no que tange expressões regulares, é possível encontrar uma variação do fecho de Kleene que omite V₀, denominada soma de Kleene^[^{carece de fontes?]}. A soma de Kleene sobre a linguagem formal V é