Fatoração polinomial

Fatoração polinomial (ou fatoração de polinômios) é um grupo de regularidades algébricas para expressar por meio de uma multiplicação indireta ou por produtos notáveis.[1]

Fator Comum

Colocar o termo em evidência é a fatoração que consiste em destacar o termo comum e colocar os outros em evidência (entre parênteses).
3 a 2 + 3 a b = 3 a ⋅ a + 3 a ⋅ b = 3 a ( a + b ) {\displaystyle 3a^{2}+3ab=3a\cdot a+3a\cdot b=3a(a+b)}
10 x 2 − 15 x = 2 x ⋅ 5 x − 3 ⋅ 5 x = 5 x ( 2 x − 3 ) {\displaystyle 10x^{2}-15x=2x\cdot 5x-3\cdot 5x=5x(2x-3)}

Agrupamento

Agrupamento é a fatoração em que agrupa-se de forma conveniente os fatores comuns, primeiramente relacionando-os em evidência e depois colocando a especificidade da multiplicação polinomial.
a b + a − b x − x = a ( b + 1 ) − x ( b + 1 ) = ( b + 1 ) ( a − x ) {\displaystyle ab+a-bx-x=a(b+1)-x(b+1)=(b+1)(a-x)}
x 3 − 2 x 2 + x + x 2 y − 2 x y + y = x ( x 2 − 2 x + 1 ) + y ( x 2 − 2 x + 1 ) = ( x 2 − 2 x + 1 ) ( x + y ) {\displaystyle x^{3}-2x^{2}+x+x^{2}y-2xy+y=x(x^{2}-2x+1)+y(x^{2}-2x+1)=(x^{2}-2x+1)(x+y)}

Trinômio quadrado perfeito

Trinômio quadrado perfeito é quando forma um polinômio com três termos e o 1° tanto como o 3° termo devem ser quadrados perfeitos, ou seja, conter uma raiz quadrada exata, formando um quadrado. O segundo termo deve ser par (por ser um múltiplo de 2).[2]
x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) 2 {\displaystyle x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}}
16 x 2 − 72 x y + 81 y 2 = ( 4 x − 9 y ) 2 {\displaystyle 16x^{2}-72xy+81y^{2}=(4x-9y)^{2}}

Diferença de quadrados

Pelo produto notável: Produto de uma soma indicada pela diferença indicada, os dois termos devem ser quadrados (raiz quadrada exata). Dessa forma, haverá a multiplicação indireta dos resultados das raízes.
25 x 2 − 81 = ( 5 x + 9 ) ( 5 x − 9 ) {\displaystyle 25x^{2}-81=(5x+9)(5x-9)}
100 − a 2 = ( 10 + a ) ( 10 − a ) {\displaystyle 100-a^{2}=(10+a)(10-a)}

Soma de dois cubos

A soma de dois cubos é quando realiza a adição por um trinômio formado gerando triângulos perfeitos (números que contém a raiz cúbica exata).
( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) = x 3 + y 3 {\displaystyle (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}}
( 5 x + 2 ) ( 25 x 2 − 10 x + 4 ) = 125 x 3 + 8 {\displaystyle (5x+2)(25x^{2}-10x+4)=125x^{3}+8}

Diferença de dois cubos

A diferença de dois cubos é o inverso do resultado da multiplicação direta à multiplicação indireta, gerada um binômio a um trinômio quadrado perfeito.
( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) = x 3 − y 3 {\displaystyle (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=x^{3}-y^{3}}
( 3 x − 5 ) ( 9 x 2 + 15 x + 25 ) = 27 x 3 − 125 {\displaystyle (3x-5)(9x^{2}+15x+25)=27x^{3}-125}

Sucessividade

A sucessividade polinomial (ou fatoração sucessivas de evidências) é o ato de fatorar o polinômio quadrado da diferença indicada após fatorar o termo em evidência e formar ainda, termos comuns.
3 x 2 − 75 = 3 ( x 2 − 25 ) = 3 ( x + 5 ) ( x − 5 ) {\displaystyle 3x^{2}-75=3(x^{2}-25)=3(x+5)(x-5)}
4 x 3 + 4 x 2 + x = x ( 4 x 2 + 4 x + 1 ) = x ( 2 x + 1 ) 2 {\displaystyle 4x^{3}+4x^{2}+x=x(4x^{2}+4x+1)=x(2x+1)^{2}}

Cálculo de MMC

Fatoração pelo cálculo MMC (ou ainda, cálculo algébrico polinomial do minímo múltiplo comum) é denominar o MMC dos coeficientes de um termo e depois pelo outro e dividir a parte literal.
90 x 3 y z 18 x y z = 5 x 2 {\displaystyle {90x^{3}yz \over 18xyz}=5x^{2}}

Equação-produto

Equação-produto é denominar o resultado da multiplicação por 0.

Referências

  1. ↑ Dante (2010) Tudo é Matemática. Página 102 a 110 - Editora Ática
  2. ↑ «Introdução ao terceiro caso de fatoração polinomial, o trinômio quadrado perfeito.» 
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