Equação de convecção-difusão

A equação de convecção-difusão é uma equação parabólica em derivadas parciais, a qual descreve o fenômeno físico onde partículas ou energia (ou outras grandezas físicas) são transferidas dentro de um sistema devido a dois processos: difusão e convecção. Nesta forma mais simples (quando o coeficiente de difusão e a velocidade de convecção são constantes e não há fontes ou fugas) a equação toma a forma[1][2][3]:

∂ c ∂ t = D ∇ 2 c − v → ⋅ ∇ c . {\displaystyle {\big .}{\frac {\partial c}{\partial t}}=D\,\nabla ^{2}c-{\vec {v}}\cdot \nabla c.}

Os dois termos no lado direito representam processos físicos diferentes: o primeiro corresponde a difusão normal enquanto o segundo descreve convecção ou advecção – o qual é o motivo pelo qual a equação é também conhecida como a equação de advecção-difusão. Além disso c é a variável de interesse, a constante D é o coeficiente de difusão, e v → {\displaystyle {\vec {v}}} é a velocidade.

Equação de convecção-difusão com coeficientes constantes

Quando v ∈ R n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}} é constante, podemos encontrar uma solução clássica para a equação do transporte.[4] Uma forma de obtermos uma tal solução é impondo uma condição inicial.

Problema de valor inicial

Consideremos, primeiro, o caso homogêneo, isto é, f ≡ 0 {\displaystyle f\equiv 0} . Definindo uma condição inicial para Φ {\displaystyle \Phi } temos o seguinte problema de valor inicial:

∂ ∂ t Φ + v ⋅ ∇ Φ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi +\mathbf {v} \cdot \nabla \Phi =0}

Φ ( x , 0 ) = g {\displaystyle \Phi (x,0)=g}

onde, Φ = Φ ( x , t ) {\displaystyle \Phi =\Phi (x,t)} com x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} e t ∈ [ 0 ,   ∞ ) {\displaystyle t\in [0,~\infty )} . Além disso, assumimos que g ∈ C 1 ( R n , R ) {\displaystyle g\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )} , i.e. g {\displaystyle g} é uma vez continuamente diferenciável.

Com isso, podemos mostrar que a solução deste problema é:

Φ ( x , t ) = g ( x − t v ) ,   para todo  ( x , t ) ∈ R n × [ 0 ,   ∞ ) {\displaystyle \Phi (x,t)=g(x-t\mathbf {v} ),~{\text{para todo }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,~\infty )} .

Com feito, esta solução satisfaz a condição inicial e, além disso, substituindo Φ {\displaystyle \Phi } na equação do transporte homogênea vemos que:

∂ ∂ t Φ + v ⋅ ∇ Φ = − v ⋅ ∇ g ( x − t v ) + v ⋅ ∇ g ( x − t v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi +\mathbf {v} \cdot \nabla \Phi =-\mathbf {v} \cdot \nabla g(x-t\mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot \nabla g(x-t\mathbf {v} )=0} .

Ou seja, Φ {\displaystyle \Phi } definida acima é de fato solução do problema.

Caso não-homogêneo

Aqui, encontramos uma solução clássica para o seguinte problema de valor inicial:

∂ ∂ t Φ + v ⋅ ∇ Φ = f {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi +\mathbf {v} \cdot \nabla \Phi =f}

Φ ( x , 0 ) = g {\displaystyle \Phi (x,0)=g}

onde, Φ {\displaystyle \Phi } e g {\displaystyle g} estão definidas como acima e f ∈ C 0 ( R n × ( 0 , ∞ ) ,   R ) {\displaystyle f\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty ),~\mathbb {R} )} .

Para buscarmos uma solução para este problema, definimos:

z ( s ) = Φ ( x + s v ,   t + s ) {\displaystyle z(s)=\Phi (x+s\mathbf {v} ,~t+s)}

o que nos dá:

d d s z ( s ) = f ( x + s v ,   t + s ) {\displaystyle {\frac {d}{ds}}z(s)=f(x+s\mathbf {v} ,~t+s)} .

Logo:

∫ 0 t f ( x + ( s − t ) v ,   s )   d s = ∫ − t 0 f ( x + s v ,   t + s )   d s = z ( 0 ) − z ( − t ) = Φ ( x , t ) − g ( x − t v ) {\displaystyle \int _{0}^{t}f(x+(s-t)\mathbf {v} ,~s)~ds=\int _{-t}^{0}f(x+s\mathbf {v} ,~t+s)~ds=z(0)-z(-t)=\Phi (x,t)-g(x-t\mathbf {v} )} .

Portanto:

Φ ( x , t ) = g ( x − t v ) + ∫ 0 t f ( x + ( s − t ) v ,   s )   d s ,   para todo  ( x , t ) ∈ R n × [ 0 ,   ∞ ) {\displaystyle \Phi (x,t)=g(x-t\mathbf {v} )+\int _{0}^{t}f(x+(s-t)\mathbf {v} ,~s)~ds,~{\text{para todo }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,~\infty )}

é solução clássica do problema dado.

Derivação

A equação de convecção-difusão pode ser derivada em uma forma simplificada da equação de continuidade, a qual estabelece que a taxa de alteração para uma grandeza escalar em um volume de controle diferencial é dado por fluxo e difusão dentro e fora da parte do sistema, juntamente com toda a geração ou o consumo dentro do volume de controle:

∂ c ∂ t + ∇ ⋅ j → = s , {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=s,}

onde j → {\displaystyle {\vec {j}}} é o fluxo total e s é uma fonte volumétrica líquida (resultado de balanço) para c. Na ausência de fluxo físico, este fluxo pode ser descrito através da fenomenológica primeira lei de Fick, a qual assume que o fluxo de material em difusão em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local. Quando há convecção ou fluxo, o fluxo total é dado pela soma do fluxo difusivo e que é conhecido como o fluxo convectivo v → c {\displaystyle {\vec {v}}\,c} .

Combinando-se estes dois termos o fluxo total torna-se:

j → = − D ∇ c + v → c . {\displaystyle {\vec {j}}=-D\,\nabla c+{\vec {v}}c.}

A substituição desta equação na equação de continuidade dá a forma geral da equação de convecção–difusão:

∂ c ∂ t + ∇ ⋅ ( − D ∇ c + v → c → ) = s . {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\vec {-D\,\nabla c+{\vec {v}}\,c}}\right)=s.}

Referências

  1. ↑ Bejan A (2004). Convection Heat Transfer. [S.l.: s.n.] 
  2. ↑ Bird, Stewart, Lightfoot (1960). Transport Phenomena. [S.l.: s.n.]  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
  3. ↑ Probstein R (1994). Physicochemical Hydrodynamics. [S.l.: s.n.] 
  4. ↑ Evans, L.C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society 
  • Granville Sewell, The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations, Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9
  • Armando de Oliveira Fortuna; TECNICAS COMPUTACIONAIS PARA DINAMICA DOS FLUIDOS: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕES; EdUSP, 2000 - 426 páginas

Ver também