Na matemática, mais especificamente na Teoria dos Números, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação:
Onde
e
são números inteiros e
um número natural.
Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell, foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.[1]
Introdução
As equações de Pell-Fermat são estudadas há milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de
= 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de
Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações
Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação
. com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.[2]
Soluções
Note que
Se
, isto é, se
é um quadrado perfeito, então
Como
, então existe
natural tal que
. Assim, no primeiro caso acima, temos que
Assim,
Substituindo
em uma das equações do sistema, teremos que
.
Resolvendo o caso
Teremos
e
. Assim, os pares
e
são ditos soluções triviais.
Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que
não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas.
Os inversíveis em
Como
, então iremos usar os números da forma
, números em
, para resolver a equação.
Definição
Definiremos a norma
da seguinte forma
Onde
e
.
Proposição
Seja
uma solução da equação de Pell, qualquer potência
é, também, uma solução da equação de Pell.
Demonstração
Usaremos o processo de indução. Assim, note que para
Suponha que para todo
, então para
, temos que
Assim, fica demonstrado que qualquer potência de uma solução é, ainda, uma solução da equação de Pell.
Proposição
Seja
a solução fundamental da equação de Pell e
a k-ésima potência de
, então
Demonstração
Note que
, logo
Comparando os termos, temos que
.
Observação: note que
é a solução fundamental
O grupo dos inversíveis em
Seja a restrição,
Onde
e
(inversíveis em
).
Note que a norma definida dessa forma é um homomorfismo.
Agora iremos verificar que
é um grupo:
- Associatividade: como
e a operação é a multiplicação usual, garantimos a associatividade; - Elemento neutro: Note que
, logo,
; - Inverso : Por construção, todo
possui inverso.
Seja
a solução fundamental da equação de Pell, então
ainda será uma solução da equação, logo,
gera
, portanto,
é um grupo cíclico, logo, abeliano. Assim,
Aplicações
Da equação de Pell, temos que
, logo
Intuitivamente, podemos perceber que a razão
nos dará boas aproximações para
quando
for pequeno. Matematicamente, podemos formular essa ideia como
Com isso, podemos usar frações continuadas para escrever o número irracional
na forma
Exemplo
Seja a equação de Pell
.
A solução fundamental dessa equação é o par
, pois,
. Assim,
, então
, daí
Fazendo a razão entre os coeficientes das soluções, temos que
Essas razões estão se aproximando de
[3] [4]
Referências
- ↑ «Pell Equation». Wolfram - MathWorld
- ↑ Gondim, Rodrigo (2011). Aritmética em Retas e Cônicas (PDF). Sergipe: [s.n.] pp. 57 – 64. Consultado em 26 de novembro de 2019
- ↑ Michel Waldschmidt (18 de fevereiro de 2016). «Pell's Equation» (PDF)
- ↑ Bruce Ikenaga (2019). «The Pell-Fermat Equation»
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