Elemento irredutível

Seja ${\displaystyle A}$ um anel comutativo. Um elemento ${\displaystyle x\in A}$ é irredutivel se ${\displaystyle x\neq 0}$, se ${\displaystyle x\not \in A^{*}}$ (${\displaystyle A^{*}}$ é o conjunto das unidades de ${\displaystyle A}$) e se ${\displaystyle x=ab}$ com ${\displaystyle a,b\in A}$ então ${\displaystyle a\in A^{*}}$ ou ${\displaystyle b\in A^{*}}$ (isto é, a ou b é unidade de ${\displaystyle A}$).

Exemplo

• Todo número primo no conjunto dos números inteiros é irredutível;
• Os polinômios irredutíveis.
• No anel dos inteiros quadráticos ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$, o número 3 é irredutível, mas não é primo desde que 9 pode ser escrito como ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$ ou como ${\displaystyle 3\cdot 3}$.

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