Desigualdade triangular
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A desigualdade triangular é um teorema da geometria euclidiana que afirma que, num triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I.[1] É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.
A desigualdade triangular nos números reais
No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:
- .
Que dá origem a outras desigualdades:
Para a primeira, escreva
Para a segunda,
A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.
A desigualdade triangular em
Teorema
Em , quaisquer que sejam , tem-se[2]:
Havendo igualdade se e só se com .
Note que está incluído mas não.
Demonstração
Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente[2].
Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):
(I)
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):
Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:
Q.E.D.
A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).
Desigualdade triangular para números complexos
Sejam X e Y dois números complexos, então:
Desigualdade triangular em espaço métrico
A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:
Desigualdade triangular em espaço normado
A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:
E generaliza-se por indução matemática para:
E também para séries infinitas:
Desigualdade triangular para integrais
A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real integrável.
Ver também
- SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.
Referências
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