Demonstração de Furstenberg da infinitude dos números primos

O teorema de Euclides, que assegura a existência de uma infinidade de números primos, é um resultado fundamental da teoria elementar dos números e possui inúmeras demonstrações. Além do próprio Euclides, matemáticos famosos como Euler, Goldbach e Erdös, entre outros, também forneceram demonstrações desse teorema. Há uma, no entanto, que chama bastante a atenção e que valeu fama ao matemático que a engendrou: é a “demonstração topológica” do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A rigor, o uso de topologia não desempenha um papel central na demonstração. Na verdade, a topologia tem na demonstração de Fürstenberg mais um papel de linguagem do que de ferramenta indispensável. A prova^[1] foi publicada pela primeira vez em 1955 no American Mathematical Monthly quando Fürstenberg ainda era um estudante de graduação na Universidade Yeshiva.

Dados inteiros ${\displaystyle a,b}$, em que ${\displaystyle a\neq 0}$, defina ${\displaystyle S(a,b)=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b}$. Podemos chamar um conjunto da forma ${\displaystyle S(a,b)}$ de “conjunto aritmético” (abreviadamente CA), dado que a ordenação de seus elementos ${\displaystyle x\geq b}$ é uma progressão aritmética de termo inicial ${\displaystyle b}$ e razão igual a ${\displaystyle |a|}$; e a ordenação dos elementos ${\displaystyle x\leq b}$ uma progressão aritmética de termo inicial também ${\displaystyle b}$ e razão, porém, igual a ${\displaystyle -|a|}$.

Considere a coleção ${\displaystyle \tau =\{}$X : X é um CA ou uma união de CAs${\displaystyle \}\cup \{\varnothing \}}$ de subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Tal coleção é uma topologia sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (cujos CAs são abertos básicos, isto é, a coleção de todos os CAs é uma base para tal topologia). Os axiomas de uma topologia são facilmente verificados:

• Por definição, o conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$ é aberto; e o espaço inteiro ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ também, já que ${\displaystyle S(1,0)=\mathbb {Z} }$;
• União arbitrária de elementos de ${\displaystyle \tau }$ é ainda um elemento de ${\displaystyle \tau }$;
• A interseção de dois elementos de ${\displaystyle \tau }$ pertence ainda a ${\displaystyle \tau }$: dados ${\displaystyle U_{1},U_{2}\in \tau }$ e ${\displaystyle x\in U_{1}\cap U_{2}}$, sejam ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2}}$ inteiros tais que ${\displaystyle S(a_{1},x)\subseteq U_{1}}$ e ${\displaystyle S(a_{2},x)\subseteq U_{2}}$; e seja ${\displaystyle a}$ o mínimo múltiplo comum de ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{2}}$. Então, como ${\displaystyle S(a,x)\subseteq S(a_{1},x)\subseteq U_{1}}$ e ${\displaystyle S(a,x)\subseteq S(a_{2},x)\subseteq U_{2}}$, ${\displaystyle S(a,x)\subseteq U_{1}\cap U_{2}}$.

Esta topologia é um tanto incomum e possui duas propriedades notáveis:

1. Se ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ é finito, então ${\displaystyle X\not \in \tau }$ e, consequentemente, o complementar de um conjunto finito não-vazio nunca é fechado.
2. Os abertos básicos ${\displaystyle S(a,b)}$ são também conjuntos fechados, pois é possível escrever ${\displaystyle S(a,b)}$ como o complementar de um conjunto aberto:

${\displaystyle S(a,b)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).}$

Bem, os únicos inteiros que não são múltiplos de números primos são -1 e 1, ou seja, vale a identidade

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,primo} }S(p,0).}$

Pela primeira propriedade, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,1\}}$ não pode ser fechado. Por outro lado, pela segunda propriedade, os conjuntos ${\displaystyle S(p,0)}$ são fechados. Assumindo então, por absurdo, que o conjunto dos números primos seja finito, como a união finita de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado, ganha-se que ${\displaystyle \bigcup _{p\mathrm {\,primo} }S(p,0)}$ é fechado. Mas isto é uma contradição e, portanto, existem infinitos números primos.

O espaço topológico proposto por Fürstenberg foi estudado por vários autores. Lovas e Mező,^[2] por exemplo, forneceram diversas métricas que geram a topologia de Fürstenberg. E mais ainda: encontraram também o completamento métrico de Z por meio de uma dessas métricas.

• (em inglês) «Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers»  no Everything2
• (em inglês) «Fürstenberg's proof of the infinitude of primes»  no PlanetMath
• (em inglês) «Fürstenberg's Proof of the Infinitude of Primes»  no The Prime Pages
• (em inglês) «Infinitude of Primes - A Topological Proof»  no Cut The Not
• (em inglês) «Infinitude of Primes - A Topological Proof without Topology»  no Cut The Not

• Portal da matemática