Conjunto equilibrado

Um subconjunto ${\displaystyle S\,\!}$ de um espaço vectorial ${\displaystyle X\,\!}$ sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ diz-se equilibrado se, para qualquer elemento ${\displaystyle x\,\!}$ de ${\displaystyle S\,\!}$ e qualquer ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ com ${\displaystyle |\lambda |\leq 1}$, se tiver ${\displaystyle \lambda x\in S}$.

Propriedades

• Qualquer subespaço vectorial de ${\displaystyle X}$ é equilibrado.
• Se ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ é uma família de equilibrados de ${\displaystyle X\,\!}$, então ${\displaystyle \bigcap \limits _{i\in I}S_{i}}$ é equilibrado;
• Se ${\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é uma sucessão crescente de equilibrados de ${\displaystyle X\,\!}$, então ${\displaystyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }S_{n}}$ é equilibrado;
• Se ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ é uma aplicação linear, tem-se que:
  • se ${\displaystyle S\,\!}$ é equilibrado em ${\displaystyle X\,\!}$, então ${\displaystyle f(S)\,\!}$ é equilibrado em ${\displaystyle Y\,\!}$;
  • se ${\displaystyle T\,\!}$ equilibrado em ${\displaystyle Y\,\!}$, então ${\displaystyle f^{-1}(T)\,\!}$ é equilibrado em ${\displaystyle X\,\!}$.
• O invólucro convexo de um equilibrado de ${\displaystyle X\,\!}$ é equilibrado.

Invólucro equilibrado

Ao menor equilibrado de ${\displaystyle X\,\!}$ que contém ${\displaystyle S\,\!}$ chama-se o invólucro equilibrado de ${\displaystyle S\,\!}$. Este é dado por:

${\displaystyle \{\lambda x:x\in S,|\lambda |\leq 1\}}$.

O invólucro equilibrado de um subconjunto de ${\displaystyle X\,\!}$ depende do corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Por exemplo, em ${\displaystyle X=\mathbb {C} }$, considerado como espaço vectorial real, o invólucro equilibrado de ${\displaystyle S=\{1\}\,\!}$ é o intervalo ${\displaystyle [-1,1]\,\!}$. Mas, sendo ${\displaystyle X\,\!}$ um espaço vectorial complexo, o invólucro equilibrado de ${\displaystyle S\,\!}$ é o disco fechado, centrado na origem e raio 1.

Ver também

• Conjunto absolutamente convexo