Épsilon de máquina
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Cancela_eps2.png/400px-Cancela_eps2.png)
Em aritmética de ponto flutuante, denomina-se épsilon da máquina o menor número que somado a 1 produza resultado diferente de 1, ou seja, que não é arredondado. O épsilon de máquina representa a exatidão relativa da aritmética do computador, e a sua existência é uma consequência direta da precisão finita da aritmética de ponto flutuante. O valor também é chamado de unidade de arredondamento ou menor número representável, e é simbolizado pela letra grega épsilon .[1][2]
Definição formal
Arredondamento é o processo de escolha da representação de um número real em um sistema numérico de ponto flutuante. Para um determinado sistema numérico e um procedimento de arredondamento, o épsilon de máquina é o máximo erro relativo do procedimento escolhido.
Algumas explicações são necessárias para se determinar o valor dessa definição. Um sistema numérico de ponto flutuante é caracterizado por uma base , e por uma precisão , por exemplo, o número de dígitos na base da mantissa (incluindo qualquer bit implícito). Todos os números com o mesmo expoente têm o espaçamento . O espaçamento muda nos números que são potências perfeitas de ; o espaçamento no lado de maior magnitude é vezes maior que o espaçamento no lado de menor magnitude.
Uma vez que o épsilon de máquina é o limite do erro relativo, é suficiente considerar números com expoente . Também é suficiente para considerar números positivos. Para o método de arredondamento do valor mais próximo, o erro absoluto de arredondamento é no máximo metade do espaçamento, ou . Este valor é o maior numerador possível para o erro relativo. O denominador no erro relativo é o número sendo arredondado, que deve ser o menor possível para tornar o erro maior. O maior erro relativo, portanto, acontece quando o arredondamento é aplicado a números na forma onde está entre e . Todos esses números arredondam para com erro relativo . O máximo ocorre quando está no limite superior do intervalo. O no denominador tem pouca importância, sendo deixado de fora por conveniência, e apenas é tomado com o épsilon de máquina. Como foi mostrado aqui, o erro relativo é maior para números que são arredondados para , então o épsilon de máquina também é chamado de unidade de arredondamento, significando simplesmente "o máximo erro que pode ocorrer quando se arredonda para o valor unitário".
Assim, o máximo espaçamento entre um número normalizado em ponto flutuante , e um número normalizado adjacente é x .[3]
Modelo aritmético
A análise numérica usa o épsilon de máquina para estudar os efeitos dos erros de arredondamento. Os reais erros da aritmética computacional são complexos demais para serem diretamente estudados, então, em vez disso, o seguinte modelo simplificado é utilizado. O padrão aritmético da IEEE define que todas as operações de ponto flutuante são feitas como se fosse possível executá-las com precisão infinita, e então o resultado é arredondado para um número de ponto flutuante. Suponha que (1) e são números de ponto flutuante, que (2) é uma operação aritmética em ponto flutuante como adição ou multiplicação, e que (3) é a operação de precisão infinita. De acordo com o padrão, o computador calcula:
Pela definição, o erro relativo do arredondamento é máximo quando igual ao épsilon da máquina, então:
onde em grandeza absoluta é no máximo .
Como determinar o épsilon de máquina
Os valores de épsilon de máquina a seguir se aplicam a formatos padronizados de ponto flutuante:
IEEE 754 - 2008 | Nome usual | Tipo de dado em C++ | Base | Precisão | Épsilon de máquina[a] | Épsilon de máquina[b] |
---|---|---|---|---|---|---|
binary16 | meia precisão | indisponível | 2 | 11 (um bit implícito) | 2 -11 = 4.88e-04 | 2 -10 = 9.77e-04 |
binary32 | precisão singular | float | 2 | 24 (um bit implícito) | 2 -24 = 5.96e-08 | 2 -23 = 1.19e-07 |
binary64 | precisão dupla | double | 2 | 53 (um bit implícito) | 2 -53 = 1.11e-16 | 2 -52 = 2.22e-16 |
binary80 | precisão estendida | _float80[4] | 2 | 64 | 2 -64 = 5.42e-20 | 2 -63 = 1.08e-19 |
binary128 | precisão quádrupla | _float128[4] | 2 | 113 (um bit implícito) | 2 -113 = 9.63e-35 | 2 -112 = 1.93e-34 |
decimal32 | precisão singular decimal | _Decimal32[5] | 10 | 7 | 5 × 10 -7 | 10−6 |
decimal64 | precisão dupla decimal | _Decimal64[5] | 10 | 16 | 5 × 10 -16 | 10−15 |
decimal128 | precisão quádrupla decimal | _Decimal128[5] | 10 | 34 | 5 × 10 -34 | 10−33 |
a de acordo com Prof. Demmel, LAPACK, Scilab b de acordo com Prof. Higham; Padrão ISO C; constantes de linguagem C, C++ e Python; Mathematica, MATLAB e Octave
O épsilon de máquina de um sistema pode ser aproximado (a um fator de 2) pelo seguinte algoritmo em pseudocódigo: [6]
eps=1 while (eps+1) > 1 eps=eps/2 end eps=eps*2
Cancelamento catastrófico
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
O cancelamento catastrófico é um efeito que ocorre quando excedemos o limite de precisão do sistema de numeração, sendo caracterizado por um aumento substancial do erro relativo dos resultados. O exemplo característico desse tipo de erro é quando o resultado da subtração de dois números se aproxima do valor do épsilon de máquina.[7]
Veja também
- Ponto flutuante, discussão geral sobre precisão em aritmética de ponto flutuante
- Propagação de erros
Referências
- ↑ Bortoli, Álvaro L.; Cardoso, Carolina; Fachin, Maria P. G.; Cunha, Rudnei D (2003). Introdução a Cálculo Numérico (PDF). [S.l.: s.n.] p. 15 [ligação inativa]
- ↑ Sanches, Carlos A. A (2012). Matemática Computacional: Erros de Arredondamento (PDF). [S.l.: s.n.]
- ↑ Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2 ed). [S.l.]: SIAM. 37 páginas
- ↑ a b Floating Types - Using the GNU Compiler Collection (GCC)
- ↑ a b c Decimal Float - Using the GNU Compiler Collection (GCC)
- ↑ E. Elliott Ward Cheney, David Ronald Kincaid (2012). Numerical mathematics and computing. [S.l.]: Cengage Learning
- ↑ L.A.Sphaier, L.S.B.Alves. Representação de Números, Erros Numéricos e Aritmética Computacional. Disponível em www.sphaier.com