Zbieżność według miary

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Aby ocenić, czy dany ciąg funkcyjny ${\displaystyle f_{n}}$ zbiega do danej funkcji granicznej ${\displaystyle f}$, mierzy się wielkości zbioru punktów dziedziny ciągu funkcyjnego, dla których ciąg funkcyjny nie zbiega do funkcji granicznej, przy czym: a). jeżeli zbiór ten ma miarą zerową, to uznaje się, że ciąg funkcyjny jest zbieżny do funkcji granicznej (sytuacja taka może zachodzić np. dla funkcji, które są rozbieżne jedynie w punktach izolowanych) b). gdy zaś zbiór ten ma miarę niezerową, to uznaje się, że ciąg funkcyjny nie jest zbieżny do funkcji granicznej (zbieżność jest niewystarczająca). W pomiarze istotne jest przyjęcie konkretnej miary, zależnie od rozpatrywanego zagadnienia.

Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą ${\displaystyle \mu }$ określoną na podzbiorach ${\displaystyle A}$ zbioru ${\displaystyle \Omega }$ (tj. zakłada się, że podzbiory te należą do tzw. σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ zbioru ${\displaystyle \Omega }$, co gwarantuje spójne przyporządkowanie miary tym podzbiorom, np. długości, pola powierzchni, objętości, prawdopodobieństwa, itd.).

Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych ${\displaystyle f_{n}\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},\,n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według miary ${\displaystyle \mu }$ do funkcji ${\displaystyle f\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},}$ gdy:

${\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim _{n\to \infty }\,\mu {\big (}\,\{x\in A\colon \,|f_{n}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon \,\}\,{\big )}=0}$

tj.: zbieżność ta zachodzi, gdy w granicy ${\displaystyle n\to +\infty }$ zerowa jest miara zbioru tych punktów ${\displaystyle x}$ dziedziny ${\displaystyle A}$ ciągu funkcyjnego, dla których ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon }$. Oznacza to, że jedynie w izolowanych punktach granica ciągu funkcji może nie być zgodna z funkcją graniczną ${\displaystyle f}$ (np. gdy istnieją punkty, gdzie funkcje ciągu mają nieciągłości lub w których są rozbieżne do nieskończoności)

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} }$ będą zmiennymi losowymi.

Ciąg zmiennych losowych ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej ${\displaystyle X,}$ jeżeli

${\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon \}\right)=1.}$

tj.: zbieżność ta zachodzi, gdy w granicy ${\displaystyle n\to +\infty }$ jednością jest miara zbioru tych punktów ${\displaystyle \omega }$ dziedziny ${\displaystyle \Omega }$ ciągu zmiennych losowych, dla których ${\displaystyle |X_{n}(x)-X(x)|<\varepsilon }$. Oznacza to, że jedynie w punktach izolowanych granica ciągu zmiennych losowych nie jest zgodna ze zmienną graniczną ${\displaystyle X}$.

Ciąg zmiennych losowych ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej ${\displaystyle c,}$ jeżeli

${\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-c|<\varepsilon \}\right)=1.}$

Przypadek wielowymiarowy

Niech ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} ^{s}}$ będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora ${\displaystyle X,}$ jeżeli

${\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :\|X_{n}(\omega )-X(\omega )\|<\varepsilon \}\right)=1,}$

gdzie ${\displaystyle \|{\cdot }\|:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )}$ oznacza normę euklidesową w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{s}.}$

• Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
• Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ do stałej ${\displaystyle c}$ oznacza, że przy ${\displaystyle n\to \infty }$ gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości ${\displaystyle c,}$ tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}$
• Zdanie: „ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny według miary ${\displaystyle \mu }$ do funkcji ${\displaystyle f}$”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko: ${\displaystyle f_{n}{\xrightarrow {\mu }}f}$

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).
• Każdy ciąg zbieżny według miary spełnia warunek Cauchy’ego według miary.
• Twierdzenie Riesza.

• prawo wielkich liczb
• twierdzenie Jegorowa
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• Warunek Cauchy’ego według miary
• zbieżność według rozkładu

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Springer-Verlag, 1974, s. 91. ISBN 0-387-90088-8.
• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.
• Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski: Statystyka od podstaw. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1995, s. 78. ISBN 83-208-0971-1.