Zawieszenie (topologia)

Topologia

Zawieszenie okręgu (niebieskiego)

Zawieszeniem S X {\displaystyle SX} przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} jest przestrzeń ilorazowa powstała przez podzielenie iloczynu X × I {\displaystyle X\times I} tej przestrzeni przez przedział jednostkowy I = [ 0 ; 1 ] {\displaystyle I=[0;1]} przez relację równoważności ∼ {\displaystyle \sim } [1][2]:

X × I / ∼ , {\displaystyle X\times I/\sim ,}

która ściąga punkty każdej z „podstaw” X × { 0 } {\displaystyle X\times \{0\}} i X × { 1 } {\displaystyle X\times \{1\}} do punktu, czyli dla ( x , t ) , ( x ′ , t ′ ) ∈ X × I {\displaystyle (x,t),(x',t')\in X\times I}

( x , t ) ∼ ( x ′ , t ′ ) ⇔ ( x , t ) = ( x ′ , t ′ ) ∨ t = t ′ = 0 ∨ t = t ′ = 1. {\displaystyle (x,t)\sim (x',t')\Leftrightarrow (x,t)=(x',t')\,\vee \,t=t'=0\vee t=t'=1.}

Nieco mniej formalnie można to zapisać następująco:

S X = ( X × I ) / { ( x 1 , 0 ) ∼ ( x 2 , 0 )  i  ( x 1 , 1 ) ∼ ( x 2 , 1 )  dla dowolnych  x 1 , x 2 ∈ X } . {\displaystyle SX=(X\times I)/\{(x_{1},0)\!\sim \!(x_{2},0)\;\;{\mbox{ i }}(x_{1},1)\!\sim \!(x_{2},1){\mbox{ dla dowolnych }}x_{1},x_{2}\in X\}.}

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu K × I {\displaystyle K\times I} poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: ( x , 0 ) ∼ ( x ′ , 0 ) {\displaystyle (x,0)\sim (x',0)} i ( x , 1 ) ∼ ( x ′ , 1 ) {\displaystyle (x,1)\sim (x',1)} dla dowolnych x , x ′ ∈ X {\displaystyle x,x'\in X} [2].

Kompleksy łańcuchowe

Stożkiem przekształcenia łańcuchowego f ∙ : K ∙ → L ∙ {\displaystyle f_{\bullet }:K_{\bullet }\rightarrow L_{\bullet }} nazywamy kompleks łańcuchowy C f ∙ , {\displaystyle Cf_{\bullet },} w którym:

( C f ) n = L n ⊕ K n − 1 , {\displaystyle (Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},}
∂ C f ( y , x ) = ( ∂ L y + f x , − ∂ K x ) , {\displaystyle \partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),} gdzie ( y , x ) ∈ C f . {\displaystyle (y,x)\in Cf.}

Jeśli L ∙ = 0 , {\displaystyle L_{\bullet }=0,} to kompleks C f ∙ {\displaystyle Cf_{\bullet }} jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez K ∙ + . {\displaystyle K_{\bullet }^{+}.} W kompleksie tym:

( K + ) n = K n − 1 , {\displaystyle (K^{+})_{n}=K_{n-1},}
∂ K + = − ∂ K {\displaystyle \partial ^{K^{+}}=-\partial ^{K}} [3].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Duda 1986 ↓, s. 152.
  2. ↑ a b Greenberg 1980 ↓, s. 105.
  3. ↑ Dold 1972 ↓, s. 29.

Bibliografia

  • Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
  • A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
  • Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.

Literatura dodatkowa

  • Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.