Wymierna krzywa Béziera
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/RationalBezier2D.svg/400px-RationalBezier2D.svg.png)
Wymierna krzywa Béziera – krzywa Béziera zdefiniowana we współrzędnych jednorodnych. Podczas gdy krzywa Béziera jest krzywą wielomianową, tzn. jej współrzędne opisują wielomiany, tak współrzędne krzywej wymiernej są opisywane przez wyrażenia wymierne. Jeśli wielomianowa krzywa Béziera zostanie określona we współrzędnych jednorodnych, w przestrzeni -wymiarowej, to do jej opisu potrzebne jest wielomianów Po przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymywana jest wymierna krzywa Béziera dana jako wyrażeń wymiernych
Dowolny punkt na krzywej wymiernej oblicza się zgodnie ze wzorem:
gdzie:
- – liczba punktów kontrolnych minus 1 (punkty kontrolne liczone są od zera: ),
- – -ty punkt kontrolny,
- – waga -tego punktu kontrolnego (dowolna liczba rzeczywista); jeśli punkt kontrolny nie jest brany pod uwagę,
- – wielomiany bazowe Bernsteina.
Punkt na krzywej można również znaleźć za pomocą wymiernego wariantu algorytmu de Casteljau. Punkt można także wyznaczyć obliczając współrzędne punktu w przestrzeni jednorodnej, a następnie przejść na współrzędne kartezjańskie.
Cechy krzywej
- Krzywa ma nieskończenie wiele reprezentacji we współrzędnych jednorodnych.
- Konstrukcja krzywej jest niezmiennicza względem przekształceń afinicznych, tzn. krzywa wyznaczona z przekształconych punktów kontrolnych jest taka sama jak krzywa po tym przekształceniu.
- Jeśli wszystkie wagi są równe i niezerowe, to krzywa jest wielomianowa.
- Jeśli wszystkie wagi są niezerowe i tego samego znaku, to krzywa spełnia własność otoczki wypukłej, tzn. dla punkt leży w otoczce wypukłej punktów kontrolnych
- Przemnożenie wszystkich wag przez tę samą liczbę różną od zera nie zmienia krzywej.
Ponadto w stosunku do krzywych wielomianowych, wymierne krzywe Béziera mają następujące zalety:
- mogą reprezentować wszystkie krzywe stożkowe (co ma znaczenie w zastosowaniach CAD);
- rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzywą wymierną, podczas gdy rzut perspektywiczny krzywej wielomianowej nie musi być krzywą wielomianową (co ma znaczenie w grafice komputerowej);
- wagi pozwalają na lepszą kontrolę nad kształtem krzywej.
Krzywe stożkowe
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Rational_Bezier_curve-conic_sections.svg/300px-Rational_Bezier_curve-conic_sections.svg.png)
Jeśli dane są trzy niewspółliniowe punkty kontrolne krzywej i wagi to waga określa rodzaj krzywej:
– łuk hiperboli – łuk paraboli – krótszy łuk elipsy lub okręgu – sparametryzowany odcinek pomiędzy i – dłuższy łuk elipsy lub okręgu – dwa łuki paraboli – dwa łuki hiperboli
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Wymierna_krzywa_Beziera-okregi.svg/350px-Wymierna_krzywa_Beziera-okregi.svg.png)
Zobacz też
- krzywa B-sklejana
- płaty Béziera