Twierdzenie Parsevala
Twierdzenie Parsevala[1] – tożsamość[2], która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799[3] roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.
Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela[4].
Opis twierdzenia Parsevala
Jeżeli funkcje i całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera
oraz
to zachodzi równość
gdzie oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.
Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za jest podstawione [5].
Zapis stosowany w inżynierii i fizyce
W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:
gdzie przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z a przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w
Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości
Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:
gdzie jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z a oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w
Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:
gdzie to DFT z oraz obie tablice są o długości
Przypisy
- ↑ Marc-Antoine Parseval des Chênes. Mémoire sur les séries et sur l’intégration complète d’une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants. „Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers)”. 1, 1806.
- ↑ Łysik 2007 ↓, s. 22–23.
- ↑ Artykuł był przedstawiony przed Francuską Akademią Nauk w Paryżu 5 kwietnia 1799.
- ↑ Michel Plancherel. Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 30, s. 298–335, 1910.
- ↑ Szabatin 2005 ↓, s. 72.
Bibliografia
- JerzyJ. Szabatin JerzyJ., Przetwarzanie sygnałów [online], 4 lutego 2005 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2007-02-06] .
- GrzegorzG. Łysik GrzegorzG., Szeregi Fouriera [online], 1 lutego 2007 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2011-06-26] .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Parseval’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
Parseval equality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].