Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala[1] – tożsamość[2], która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799[3] roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela[4].

Opis twierdzenia Parsevala

Jeżeli funkcje A ( x ) {\displaystyle A(x)} i B ( x ) {\displaystyle B(x)} całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie 2 π , {\displaystyle 2\pi ,} zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera

A ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n e i n x {\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}

oraz

B ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ b n e i n x , {\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx},}

to zachodzi równość

∑ n = − ∞ ∞ a n b n ¯ = 1 2 π ∫ − π π A ( x ) B ( x ) ¯ d x , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}dx,}

gdzie i {\displaystyle i} oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za B ( x ) {\displaystyle B(x)} jest podstawione A ( x ) {\displaystyle A(x)} [5].

Zapis stosowany w inżynierii i fizyce

W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X ( f ) | 2 d f , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df,}

gdzie X ( f ) = F { x ( t ) } {\displaystyle X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}} przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z x ( t ) , {\displaystyle x(t),} a f {\displaystyle f} przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w x . {\displaystyle x.}

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale x ( t ) {\displaystyle x(t)} w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości f . {\displaystyle f.}

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

∑ n = − ∞ ∞ | x [ n ] | 2 = 1 2 π ∫ − π π | X ( e i ϕ ) | 2 d ϕ , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X(e^{i\phi })|^{2}d\phi ,}

gdzie X {\displaystyle X} jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z x , {\displaystyle x,} a ϕ {\displaystyle \phi } oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w x . {\displaystyle x.}

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

∑ n = 0 N − 1 | x [ n ] | 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 | X [ k ] | 2 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2},}

gdzie X [ k ] {\displaystyle X[k]} to DFT z x [ n ] {\displaystyle x[n]} oraz obie tablice są o długości N . {\displaystyle N.}

Przypisy

  1. ↑ Marc-Antoine Parseval des Chênes. Mémoire sur les séries et sur l’intégration complète d’une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants. „Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers)”. 1, 1806. 
  2. ↑ Łysik 2007 ↓, s. 22–23.
  3. ↑ Artykuł był przedstawiony przed Francuską Akademią Nauk w Paryżu 5 kwietnia 1799.
  4. ↑ Michel Plancherel. Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 30, s. 298–335, 1910. 
  5. ↑ Szabatin 2005 ↓, s. 72.

Bibliografia

  • JerzyJ. Szabatin JerzyJ., Przetwarzanie sygnałów [online], 4 lutego 2005 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2007-02-06] .
  • GrzegorzG. Łysik GrzegorzG., Szeregi Fouriera [online], 1 lutego 2007 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2011-06-26] .

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Parseval’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Parseval equality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].