Twierdzenie Gliwienki-Cantellego – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa opisujące asymptotyczne zachowanie dystrybuanty empirycznej w miarę wzrostu liczebności próby losowej[1]. Zgodnie z tym twierdzeniem dystrybuanta empiryczna zbiega jednostajnie do prawdziwej dystrybuanty prawie na pewno (p.n.). Twierdzenie Gliwienki-Cantellego nazywane jest podstawowym twierdzeniem statystyki matematycznej[2].
Dystrybuanta empiryczna
Dla niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie określonym dystrybuantą dystrybuanta empiryczna zdefiniowana jest następująco:
| | , | | |
gdzie oznacza funkcję charakterystyczną (indykator) zbioru
Twierdzenie
Niech
.
Jeżeli próba pochodzi z rozkładu o dystrybuancie , to z prawdopodobieństwem 1, gdy
Dla ułatwienia rozważmy ciągłą zmienną losową . Ustalmy , aby dla. Teraz dla każdego istnieje , takie że .
Stąd
Ponieważ na podstawie mocnego prawa wielkich liczb , możemy zapewnić, że dla dowolnego dodatniego i dowolnej liczby całkowitej , takiej że , można znaleźć taką że dla każdego , mamy W powiązaniu z powyższym rezultatem, oznacza to dalej, że , co było do okazania.
Przypisy
- ↑ Howard G.H.G. Tucker Howard G.H.G., A Generalization of the Glivenko-Cantelli Theorem, „The Annals of Mathematical Statistics”, 30 (3), 1959, s. 828–830, DOI: 10.1214/aoms/1177706212, ISSN 0003-4851 [dostęp 2024-05-08] .
- ↑ a b RyszardR. Zieliński RyszardR., Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej [online], 2004 .