Twierdzenie Fejéra

Twierdzenie Fejéra – twierdzenie analizy harmonicznej, mówiące, że ciąg tzw. sum Fejéra rzeczywistej funkcji całkowalnej w sensie Lebesgue’a, okresowej, o okresie 2π i ciągłej jest do niej zbieżny jednostajnie. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska węgierskiego matematyka, Lipóta Fejéra.

Jeśli ${\displaystyle f\colon [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {C} }$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, to ciąg ${\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$ dany wzorem

${\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}$

nazywamy transformatą Fouriera funkcji ${\displaystyle f,}$ natomiast ciąg ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dany wzorem

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji ${\displaystyle f.}$ Jeżeli ${\displaystyle D_{n}}$ jest ${\displaystyle n}$-tym jądrem Dirichleta oraz ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ to

${\displaystyle s_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(x-y)f(y)dy.}$

Jeśli ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ciągiem sum częściowych szeregu Fouriera funkcji ${\displaystyle f,}$ to ciąg ${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dany wzorem

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

nazywamy ciągiem sum Fejéra funkcji ${\displaystyle f.}$

Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie ${\displaystyle 2\pi ,}$ to ciąg ${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jej sum Fejéra jest do niej jednostajnie zbieżny.

Powyższe twierdzenie można udowodnić korzystając z faktów:

• Funkcja ciągła i okresowa jest ograniczona.
• Funkcja ciągła określona na przedziale zwartym jest jednostajnie ciągła.

W wypowiedzi twierdzenia zamiast całkowalności ma być oczywiście ciągłość!!! (natomiast z należenia do przestrzeni L^p wynika zbieżność σ_n do f w normie tejże przestrzeni dla 1≤p<∞)

• Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ oraz sum częściowych szeregu Fouriera funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x}$ jest zbieżny do ${\displaystyle f(x),}$ to funkcja ${\displaystyle f}$ daje się przedstawić w postaci swojego szeregu Fouriera:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }((a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)),}$

gdzie ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ oznaczają wzory Eulera-Fouriera dla funkcji ${\displaystyle f.}$

Korzystając z kryterium Weierstrassa oraz powyższego wnoisku można udowodnić następujące twierdzenie:

• Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie ${\displaystyle 2\pi }$ oraz szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(|a_{n}|+|b_{n}|)<\infty ,}$

to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Innym wnioskiem z twierdzenia Fejéra jest następujący fakt:

• Jeżeli ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ jest całkowalna w sensie Lebesgue’a oraz okresowa o okresie ${\displaystyle 2\pi }$ oraz ${\displaystyle f|_{[-\pi ,\pi ]}}$ jest funkcją klasy C¹, to jej szereg Fouriera jest do niej jednostajnie zbieżny.

Twierdzenia Fejéra używa się także w dowodzie zupełności układu trygonometrycznego, tzn. twierdzenia mówiącego, że jeśli funkcja ${\displaystyle f\colon [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {C} }$ jest całkowalna z kwadratem, to

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }|f(x)-\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}|^{2}dx=0.}$

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce