Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta: Wartość dowolnego wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ obliczona dla dowolnej wartości ${\displaystyle x=r}$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ przez dwumian ${\displaystyle (x-r)}$. W szczególnym wypadku, gdy ${\displaystyle f(r)=0}$, to wielomian jest podzielny przez ${\displaystyle (x-r)}$, zaś ${\displaystyle r}$ jest pierwiastkiem wielomianu^[1].

(1) Wielomian ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$

nie jest podzielny przez ${\displaystyle x-3}$, gdyż ${\displaystyle f(3)=-123\neq 0}$; de facto w dzieleniu tego wielomianu przez ${\displaystyle x-3}$ otrzymuje się trójmian ${\displaystyle g(x)=x^{2}-9x-27}$ i resztę ${\displaystyle r=f(3)=-123}$.

(2) Wielomian ${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-3x^{2}+x+2}$

jest podzielny przez ${\displaystyle x-2}$, gdyż ${\displaystyle f(2)=0}$.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką.

Tw. Element ${\displaystyle r\in {\mathcal {R}}}$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {R}}[x]}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian ${\displaystyle S(x)\in {\mathcal {R}}[x],}$ że ${\displaystyle f(x)=(x-r)S(x).}$ Ponadto stopień wielomianu ${\displaystyle S(x)}$ jest o jeden niższy niż stopień wielomianu${\displaystyle f(x)}$, tj. ${\displaystyle \deg S(x)=\deg f(x)-1}$^[1].

Niech wielomian ma postać

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

Różnica dwóch k-tych potęg dana jest znanym wzorem:

${\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}$

Niech ${\displaystyle S_{k}=x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}}$oznacza większy czynnik z prawej strony powyższej równości. Wtedy

${\displaystyle f(x)-f(r)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),}$

(ponieważ ${\displaystyle S_{1}=1}$). Wtedy

${\displaystyle f(x)=(x-r)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1})+f(r).}$

Ponieważ ${\displaystyle S(x)=a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}}$ jest wielomianem stopnia n-1 (gdyż np. ${\displaystyle S_{n}=x^{n-1}+x^{n-2}r+\dots +xr^{n-2}+r^{n-1}}$ jest wielomianem stopnia n-1), to otrzymujemy tezę twierdzenia, cnd.^[2]

Wartość wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ w punkcie ${\displaystyle r}$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu ${\displaystyle f(x)}$ przez dwumian ${\displaystyle x-r,}$ co wynika z ostatniej równości dowodu^[3]. Równość tę nazywa się równością Bézouta^[1].

• schemat Hornera

• Twierdzenie Bézouta – przykłady, matemaks.pl [dostęp 2024-05-17].