Twierdzenia o prędkości ewolucji stanu kwantowego – twierdzenia związane z fundamentalnymi ograniczeniami ewolucji kwantowej. W mechanice kwantowej określają minimalny czas konieczny, aby układ kwantowy mógł w drodze unitarnej ewolucji przejść pomiędzy dwoma ortogonalnymi stanami kwantowymi, znane również jako kwantowe ograniczenia prędkości.
Rozważmy wstępny, czysty stan kwantowy wyrażony jako superpozycja energetycznych stanów własnych
Jeżeli stan będzie ewoluował przez okres zgodnie z równaniem Schrödingera stanie się stanem
gdzie jest zredukowaną stałą Plancka a jest jednostką urojoną.
Jeżeli wstępny stan kwantowy jest ortogonalny do stanu po ewolucji wówczas a minimalny okres konieczny do zapewnienia tego warunku jest nazywany interwałem[1] bądź czasem[2] ortogonalizacji.
Jedynym stanem, dla którego powyższa nierówność jest równaniem jest kubit
o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych oraz .
Dowód
Wymagamy, aby co zachodzi dla or , czyli jedynie dla dwóch energetycznych stanów własnych
.
Zatem oraz , a jedynym stanem, który to zapewnia jest kubit
o zrównoważonej superpozycji energetycznych stanów własnych i unikalny z wyłączeniem degeneracji energii oraz dowolnych współczynników fazowych i stanów własnych[2].
Inne Powiązane Twierdzenia
Twierdzenia powiązane z twierdzeniami Mandelstama-Tamma i Margolusa–Levitina zostały udowodnione[2] w 2009 przez Lwa Levitina i Tommaso Toffoliego.
Twierdzenie
W przypadku, gdy interwał ortogonalizacji spełnia
.
Twierdzenie
Dla każdego stanu kwantowego zachodzi
,
gdzie jest maksymalną wartością własną tego stanu oraz
.
Dowód
Niech
.
Załóżmy a contrario, że . Możemy zdefiniować . Ale wówczas
.
Zatem zamiana na nie zmienia , a tym samym zbiór wartości własnych energii jest ograniczony od góry[2]. Aby udowodnić istnienie kresu dolnego na , niech średnią energią będzie . Zauważamy, że zamiana poziomów energii w na nie ma wpływu na ich ważność. Ale po takiej zamianie, średnia energia to i możemy wybrać . Zatem . Wykorzystanie kresu na z twierdzenia Margolusa–Levitina kończy dowód[2].
↑ abLeonidL.MandelstamLeonidL., IgorI.TammIgorI., The Uncertainty Relation Between Energy and Time in Non-relativistic Quantum Mechanics, t. 9, J. Phys. (USSR), 1945, s. 222–228, DOI: 10.1007/978-3-642-74626-0_8.
↑ abcdefghiLev B.L.B.LevitinLev B.L.B., TommasoT.ToffoliTommasoT., Fundamental Limit on the Rate of Quantum Dynamics: The Unified Bound Is Tight, „Physical Review Letters”, 16, 103, 2009, s. 160502, DOI: 10.1103/PhysRevLett.103.160502, ISSN 0031-9007, PMID: 19905679, Bibcode: 2009PhRvL.103p0502L, arXiv:0905.3417.
↑NormanN.MargolusNormanN., Lev B.L.B.LevitinLev B.L.B., The maximum speed of dynamical evolution, „Physica D”, 1–2, 120, 1998, s. 188–195, DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00054-2, Bibcode: 1998PhyD..120..188M, arXiv:quant-ph/9710043.