Trójkąty podobne
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Tr%C3%B3jk%C4%85ty_podobne.svg/250px-Tr%C3%B3jk%C4%85ty_podobne.svg.png)
Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: oraz tak, aby
gdzie jest pewną liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta względem
Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.
Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy i czytamy, że jest podobny do
Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli to także np. oraz Oznacza to, że w napisie układ liter wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.
W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.
Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.
Jeśli trójkąty są podobne, to:
- wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali
- stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)
Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:
- Cecha bbb (bok-bok-bok) – stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji) są równe,
- Cecha bkb (bok-kąt-bok) – stosunki długości dwóch par boków równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
- Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów, czyli cecha kk, bo miary kątów trzeciej pary muszą być równe, gdyż suma miar kątów trójkąta jest równa 180°).
Podobieństwo w innych geometriach
Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.
Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.
Zastosowania
Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.
Pomiar wysokości piramidy
Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/PiramidaTales-grafik.svg/350px-PiramidaTales-grafik.svg.png)
Ponieważ trójkąty i są podobne zachodzi proporcja: skąd
Znając – długość kija, mierząc – długość jego cienia i – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.
Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.
Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.
Pomiar odległości statku od brzegu
Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie.
Z podobieństwa trójkątów i mamy: czyli skąd
Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy
Zobacz też
- figury podobne