Topologiczna algebra Heytinga

Topologiczna algebra Heytinga – algebra Heytinga, której uniwersum jest rodzina zbiorów otwartych (topologia) pewnej przestrzeni topologicznej. Można powiedzieć, że topologiczne algebry Heytinga są tym dla ogólnych algebr Heytinga czym ciała zbiorów dla algebr Boole’a (por. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga).

Konstrukcja

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. Algebra H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} o uniwersum τ {\displaystyle \tau } z działaniami danymi wzorami (1)-(6)

(1)   A ( H τ ) ( U , V ) := U ∪ V {\displaystyle \mathbf {A} ^{({\mathcal {H}}_{\tau })}(U,V):=U\cup V}
(2)   K ( H τ ) ( U , V ) := U ∩ V {\displaystyle \mathbf {K} ^{({\mathcal {H}}_{\tau })}(U,V):=U\cap V}
(3)   C ( H τ ) ( U , V ) := U ⇒ V {\displaystyle \mathbf {C} ^{({\mathcal {H}}_{\tau })}(U,V):=U\Rightarrow V}
(4)   N ( H τ ) ( U ) := int ( X ∖ U ) {\displaystyle \mathbf {N} ^{({\mathcal {H}}_{\tau })}(U):={\mbox{int}}(X\setminus U)}
(5)   O ( H τ ) := ∅ {\displaystyle \mathbf {O} ^{({\mathcal {H}}_{\tau })}:=\varnothing }
(6)   I ( H τ ) := X {\displaystyle \mathbf {I} ^{({\mathcal {H}}_{\tau })}:=X}

dla zbiorów otwartych U , V ⊆ X , {\displaystyle U,V\subseteq X,} jest algebrą Heytinga, gdzie

U ⇒ V := int ( X ∖ U ∪ V ) . {\displaystyle U\Rightarrow V:={\mbox{int}}(X\setminus U\cup V).}

Aby to sprawdzić, wystarczy jedynie wykazać, że

W ∩ U ⊆ V {\displaystyle W\cap U\subseteq V} wtedy i tylko wtedy, gdy W ⊆ ( U ⇒ V ) = int ( X ∖ U ∪ V ) , {\displaystyle W\subseteq (U\Rightarrow V)={\mbox{int}}(X\setminus U\cup V),}

co wynika z faktu, że zbiór W {\displaystyle W} jest otwarty[a]. Algebra H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} nazywana jest topologiczną algebrą Heytinga (przestrzeni X {\displaystyle X} ).

Każda algebra Heytinga jest izomorficzna z topologiczną algebrą Heytinga (p. twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga) pewnej przestrzeni topologicznej X . {\displaystyle X.} W przypadku, gdy algebra ta jest wzbogaceniem algebry Boole’a, to przestrzeń X {\displaystyle X} jest zerowymiarową zwartą przestrzenią Hausdorffa (zob. przestrzeń Stone’a).

Uwagi

  1. ↑ Zapisanie tego warunku w postaci W ∩ U ⊆ V ⟺ W ⊆ ( U ⇒ V ) = int ( X ∖ U ∪ V ) {\displaystyle W\cap U\subseteq V\iff W\subseteq (U\Rightarrow V)={\mbox{int}}(X\setminus U\cup V)} byłoby mylące, bowiem ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } należy tu intepretować jako działanie w algebrze H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} , a ⟺ {\displaystyle \iff } jako część zdania spoza tej algebry orzekającego o równoważności dwóch warunków.

Bibliografia

  • J. Michael Dunn, Gary M. Hardegree, Algebraic methods in philosophical logic, Oxford Logic Guides, Oxford 2001, s. 384–386.
  • H. Rasiowa i R. Sikorski, The Mathematics of Metamathematics, Monografie Matematyczne, PWN, Warszawa 1963, s. 54–62, 93–95, 123–130.