Test Shapiro-Wilka

Test Shapiro–Wilka – standardowy test statystyczny, wykorzystywany do testowania normalności danych. Został opublikowany w 1965 roku przez Samuela Shapiro i Martina Wilka.

Załóżmy, że pobraliśmy próbę ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ i chcemy sprawdzić czy pochodzi z rozkładu normalnego. Hipoteza zerowa i alternatywna w teście Shapiro–Wilka ma następującą postać:

${\displaystyle H_{0}{:}}$ Próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym

${\displaystyle H_{1}{:}}$ Próba nie pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym.

W celu przeprowadzenia testu wykorzystuje się statystykę ${\displaystyle W{:}}$

• Uporządkuj obserwacje niemalejąco: ${\displaystyle y_{1}\leqslant y_{2}\leqslant \ldots \leqslant y_{n}}$
• Oblicz: ${\displaystyle {\mathit {SSE}}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}$
• Jeżeli ${\displaystyle n}$ jest parzyste, niech ${\displaystyle m={\frac {n}{2}},}$ w przeciwnym razie ${\displaystyle m={\frac {n-1}{2}}}$
• Używając stabelaryzowanych wartości ${\displaystyle a_{i}}$ oblicz ${\displaystyle b=\sum _{i=1}^{m}a_{i}(y_{n+1-i}-y_{i})}$
• Oblicz statystykę ${\displaystyle W={\frac {b^{2}}{\mathit {SSE}}}}$
• Porównaj wynik ze stabelaryzowanymi wartościami dla odpowiednich poziomów ufności i liczebności próby.

W celu zilustrowania procesu, załóżmy, że mamy następujące obserwacje:

${\displaystyle x_{1}=6,x_{2}=1,x_{3}=-4,x_{4}=8,x_{5}=-2,x_{6}=5,x_{7}=0.}$

• Sortując otrzymujemy: ${\displaystyle y_{1}=-4,y_{2}=-2,y_{3}=0,y_{4}=1,y_{5}=5,y_{6}=6,y_{7}=8.}$
• Obliczając ${\displaystyle {\mathit {SSE}}=\sum _{i=1}^{7}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}=118}$
• Dla wartości ${\displaystyle n=7}$ z odpowiednich tabel otrzymujemy kolejne wartości: ${\displaystyle a_{7}=0{,}6233,a_{6}=0{,}3031,a_{5}=0{,}1401,a_{4}=0{,}0000}$ oraz wartość ${\displaystyle b=0{,}6233(8+4)+0{,}3031(6+2)+0{,}1401(5-0)=10{,}6049}$
• Wartość statystyki ${\displaystyle W={\frac {10{,}6049^{2}}{118}}=0{,}9530}$

Wartość teoretycznej statystyki ${\displaystyle W}$ na poziomie istotności ${\displaystyle 5\%}$ i ${\displaystyle n=7}$ wynosi ${\displaystyle 0{,}803.}$ Ponieważ ta wartość jest mniejsza niż otrzymana z testu, nie mamy powodu odrzucić hipotezy, że próba pochodzi z rozkładu normalnego.

Analiza porównawcza przy użyciu metod Monte Carlo pokazała, że test Shapiro–Wilka ma największą moc spośród testów badających normalność: testu Andersona–Darlinga, testu Kołmogorowa–Smirnowa czy testu Lillieforsa^[1].

Oryginalnie zaproponowane podejście ograniczało się do próbek poniżej 50 obserwacji. Royston w 1995 roku zaproponował algorytm AS R181, który mógł być wykorzystany w zakresie ${\displaystyle 3\leqslant n\leqslant 5000.}$

• test Andersona-Darlinga
• test Jarque-Bera
• test Kołmogorowa-Smirnowa
• test Lillieforsa

• S.S. Shapiro, M.B. Wilk., An Analysis of Variance Test for Normality, Biometrika, Vol. 52, No. 3/4. (Dec., 1965), s. 591–611
• Nornadiah Mohd Razali, Yap Bee Wah, Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests, Journal of Statistical Modeling and Analytics, Vol. 2 No. 1, 21–33, 2011

• Tabele wartości dla testu Shapiro–Wilka (ang.)