Szereg Gregory’ego

Szereg Gregory’ego – rozwinięcie funkcji arcus tangens w szereg Taylora. Szereg Gregory’ego został odkryty w 1668 roku przez Jamesa Gregory’ego oraz kilka lat później niezależnie przez Gottfrieda Leibniza. Przypadek ${\displaystyle x=1}$ jest wzorem Leibniza na obliczanie liczby ${\displaystyle \pi }$^[1].

Szereg wygląda następująco

${\displaystyle \int _{0}^{x}\,{\frac {du}{1+u^{2}}}=\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots }$

Szereg podobny jest do rozwinięcia w szereg Taylora funkcji sinus, który w mianownikach, zamiast kolejnych liczb nieparzystych, ma silnie kolejnych liczb nieparzystych, zob. wzór Taylora.

Najwcześniejszą osobą, której można z całą pewnością przypisać znajomość szeregu, jest Madhava z Sangamagramy (ok. 1340 – ok. 1425). Pierwotna wzmianka (jak w przypadku większości prac Madhavy) zaginęła, ale kilku jego następców z założonej przez niego szkoły astronomii i matematyki w Kerali przypisuje mu to odkrycie. Konkretne wzmianki o szeregu znajdują się w dziele Tantrasangraha Nilakantha Somayaji (ok. 1500)^[2][3], traktacie Yuktibhāṣā Jyeṣṭhadevy (ok. 1530)^[4] oraz komentarzu Yukti-dipika autorstwa Sankary Variyara, gdzie podano go w wersetach 2.206–2.209^[5].

Odkrycie szeregu jest przypisywane Gregory’emu na podstawie dwóch publikacji z 1668 r.: Geometriae pars universalis (Powszechna część geometrii), Exercitationes geometrica (Ćwiczenia geometryczne).

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, wydanie drugie, John Wiley & Sons, Inc., s. 386, 1991.
• Gupta, RC (1973). „The Madhava–Gregory series”. Mathematical Education. 7: 67–70.