Symediana

Trójkąt z zaznaczonymi środkowymi (czarne linie), dwusiecznymi (przerywane) i symedianami (czerwone).

Symediana – prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine’a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

Właściwości

Jeżeli czworokąt A B C D {\displaystyle ABCD} jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):

  • półprosta D B {\displaystyle DB} jest symedianą w trójkącie Δ A C D , {\displaystyle \Delta ACD,}
  • | A B | ⋅ | C D | = | B C | ⋅ | A D | , {\displaystyle |AB|\cdot |CD|=|BC|\cdot |AD|,}
  • styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach A {\displaystyle A} i C {\displaystyle C} (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty B {\displaystyle B} i D {\displaystyle D} (niebieska) są współpękowe.

Twierdzenie o symedianie

Jeżeli w Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} przez X {\displaystyle X} oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu C {\displaystyle C} z bokiem A B , {\displaystyle AB,} to zachodzi równość:

A X B X = A C 2 B C 2 . {\displaystyle {\frac {AX}{BX}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}

Dowód

Niech C ′ {\displaystyle C'} będzie środkiem boku A B . {\displaystyle AB.} Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:

| B C | sin ⁡ ∠ B C ′ C = | B C ′ | sin ⁡ ∠ B C C ′ , {\displaystyle {\frac {|BC|}{\sin \angle BC'C}}={\frac {|BC'|}{\sin \angle BCC'}},}
| A C | sin ⁡ ∠ A C ′ C = | A C ′ | sin ⁡ ∠ A C C ′ , {\displaystyle {\frac {|AC|}{\sin \angle AC'C}}={\frac {|AC'|}{\sin \angle ACC'}},}

zatem

| B C | | A C | = sin ⁡ ∠ A C C ′ sin ⁡ ∠ B C C ′ . {\displaystyle {\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle BCC'}}.}

Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to

∠ B C C ′ = ∠ A C X {\displaystyle \angle BCC'=\angle ACX} oraz ∠ A C C ′ = ∠ B C X , {\displaystyle \angle ACC'=\angle BCX,}

więc | B C | | A C | = sin ⁡ ∠ B C X sin ⁡ ∠ A C X . {\displaystyle {\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {\sin \angle BCX}{\sin \angle ACX}}.}

Z twierdzenia sinusów mamy też, że

| A C | sin ⁡ ∠ A X C = | A X | sin ⁡ ∠ A C X , {\displaystyle {\frac {|AC|}{\sin \angle AXC}}={\frac {|AX|}{\sin \angle ACX}},}
| B C | sin ⁡ ∠ B X C = | B X | sin ⁡ ∠ B C X , {\displaystyle {\frac {|BC|}{\sin \angle BXC}}={\frac {|BX|}{\sin \angle BCX}},}

więc

| A X | | B X | = | A C | | B C | ⋅ sin ⁡ ∠ B X C sin ⁡ ∠ A X C ⋅ sin ⁡ ∠ A C X sin ⁡ ∠ B C X . {\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle BXC}{\sin \angle AXC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}}.}

∠ B X C + ∠ A X C = 180 ∘ , {\displaystyle \angle BXC+\angle AXC=180^{\circ },} więc sin ⁡ ∠ B X C = sin ⁡ ∠ A X C , {\displaystyle \sin \angle BXC=\sin \angle AXC,} stąd

| A X | | B X | = | A C | | B C | ⋅ sin ⁡ ∠ A C X sin ⁡ ∠ B C X , {\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}\cdot {\frac {\sin \angle ACX}{\sin \angle BCX}},}
| A X | | B X | = | A C | 2 | B C | 2 . {\displaystyle {\frac {|AX|}{|BX|}}={\frac {|AC|^{2}}{|BC|^{2}}}.}