Symbol
-Pochhammera –
-analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem
![{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dots (1-aq^{n-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36bae03a5e23b7f6b316f8862b086011b414435)
Symbol
-Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym
-analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub
-szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric
-series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.
W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol
-Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c60a175e4b6f002bfc94d4b00fcf190cc282915)
Jest to funkcja holomorficzna zmiennej
we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej
Przypadek szczególny
![{\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d215ab17825076b0d5aab4ac52b0bd7753867a09)
jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.
-szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej
zazwyczaj zależne od
poprzez symbole
-Pochhammera.
Tożsamości
Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci
![{\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7f907936f668ccacd8f2ab89d4adb26e421418)
który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite
Dla nieujemnych
otrzymuje się więc
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610a470b45d831bc6a35af3f04e429d0991e7a39)
oraz
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6fd993d11429c7f4e525406d37a436ca2cf0f5)
Symbol
-Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości
-szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych
![{\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbc86ea039061834459ae099f74fbeecaea034e)
oraz
![{\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a1bfd3a86b1396e0a670192ed88409dcaa2faa)
które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o
-dwumianie:
![{\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fb2953090a36290cb38f81f6b10f339021ece3)
Interpretacja kombinatoryczna
Zobacz też: rozbicie zbioru.
Symbol
-Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik
w
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ae0b637f83fecb7a0260ae4f92a727527df95a)
jest liczbą podziałów
na co najwyżej
części.
Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów
na części wielkości co najwyżej
utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d15e96260a7dc95fabc10a383415053a2f55e59)
Jest też, że współczynnik
w
![{\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a4b0d8820692186b45f999cbcae73d77414e07)
jest liczbą podziałów
na
bądź
różnych części.
Usunąwszy podział trójkątny o
częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej
części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na
lub
różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o
częściach i podziałem na co najwyżej
części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:
![{\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb101f51335f33c3f7e6bad9332a8fa87138aa98)
również opisanej w sekcji wyżej.
Samo twierdzenie o
-dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.
Konwencja wielu argumentów
Ponieważ tożsamości zawierające symbole
-Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\dots (a_{m};q)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d365190d78f6bcc68922113064f285395d1a6e5e)
Związek z
-nawiasem i
-dwumianem
Zauważając, iż
![{\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e34b81e180e282c780db0fc31a09c57f5d212a)
można zdefiniować
-analog n, znany także jako
-nawias lub
-liczbę n jako
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02cf663202653dffbcf359ad685442e72a75986)
Za jego pomocą można zdefiniować
-analog silni,
-silnię, jako
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n-1]_{q}[n]_{q}\\[1ex]&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\dots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[1ex]&=1(1+q)\dots (1+q+\ldots +q^{n-2})(1+q+\ldots +q^{n-1})\\[1ex]&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6a4520c8534b03fcca2c0ab28f344c8320eb49)
Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się, dążąc z
do
Może to być interpretowane jako liczba flag w
-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem
-elementowym; biorąc granicę przy
dążącym do
uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.
Za pomocą
-silnii można zdefiniować współczynniki
-dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d08aa8f9d495545809fc3f6729674539debeeec)
Można sprawdzić, że
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c703ed28cac4bff7a6fa2585ed03cd5d3c55485b)
Definiuje się również
-analog funkcji Gamma nazywany funkcją
-Gamma:
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7109799500f0dee8ef0669e7569234d0d8598617)
Zachodzą wzory
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29921c6438088c00d12901a4db0e6efdeca3223)
oraz
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dea69f4f33202c6f695fe79476760ef7f867220)
Funkcja
-Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z
dążącym do
wewnątrz koła jednostkowego.
Zobacz też
Bibliografia
- George Gasper i Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
- Roelof Koekoek i Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, rozdział 0.2.
Linki zewnętrzne
- (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000053-QINU`"'-analog, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000054-QINU`"'-nawias, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000055-QINU`"'-silnia, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
- (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Współczynnik '"`UNIQ--math-00000056-QINU`"'-dwumianowy, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).