Symbol q-Pochhammera

Symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera – ${\displaystyle q}$-analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dots (1-aq^{n-1}).}$

Symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym ${\displaystyle q}$-analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub ${\displaystyle q}$-szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric ${\displaystyle q}$-series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$

Jest to funkcja holomorficzna zmiennej ${\displaystyle q}$ we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej ${\displaystyle q.}$ Przypadek szczególny

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.

${\displaystyle q}$-szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej ${\displaystyle q,}$ zazwyczaj zależne od ${\displaystyle q}$ poprzez symbole ${\displaystyle q}$-Pochhammera.

Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite ${\displaystyle n.}$ Dla nieujemnych ${\displaystyle n}$ otrzymuje się więc

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}}$

oraz

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

Symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości ${\displaystyle q}$-szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych

${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$

które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o ${\displaystyle q}$-dwumianie:

${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

 Zobacz też: rozbicie zbioru.

Symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ w

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$

jest liczbą podziałów ${\displaystyle m}$ na co najwyżej ${\displaystyle n}$ części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów ${\displaystyle m}$ na części wielkości co najwyżej ${\displaystyle n,}$ utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}.}$

Jest też, że współczynnik ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$ w

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$

jest liczbą podziałów ${\displaystyle m}$ na ${\displaystyle n}$ bądź ${\displaystyle n-1}$ różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o ${\displaystyle n-1}$ częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej ${\displaystyle n}$ części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na ${\displaystyle n}$ lub ${\displaystyle n-1}$ różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o ${\displaystyle n-1}$ częściach i podziałem na co najwyżej ${\displaystyle n}$ części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k},}$

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o ${\displaystyle q}$-dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

Ponieważ tożsamości zawierające symbole ${\displaystyle q}$-Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\dots (a_{m};q)_{n}.}$

Zauważając, iż

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n,}$

można zdefiniować ${\displaystyle q}$-analog n, znany także jako ${\displaystyle q}$-nawias lub ${\displaystyle q}$-liczbę n jako

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

Za jego pomocą można zdefiniować ${\displaystyle q}$-analog silni, ${\displaystyle q}$-silnię, jako

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n-1]_{q}[n]_{q}\\[1ex]&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\dots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[1ex]&=1(1+q)\dots (1+q+\ldots +q^{n-2})(1+q+\ldots +q^{n-1})\\[1ex]&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.\end{aligned}}}$

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się, dążąc z ${\displaystyle q}$ do ${\displaystyle 1.}$ Może to być interpretowane jako liczba flag w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem ${\displaystyle q}$-elementowym; biorąc granicę przy ${\displaystyle q}$ dążącym do ${\displaystyle 1,}$ uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.

Za pomocą ${\displaystyle q}$-silnii można zdefiniować współczynniki ${\displaystyle q}$-dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Można sprawdzić, że

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}.}$

Definiuje się również ${\displaystyle q}$-analog funkcji Gamma nazywany funkcją ${\displaystyle q}$-Gamma:

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}.}$

Zachodzą wzory

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

oraz

${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!.}$

Funkcja ${\displaystyle q}$-Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z ${\displaystyle q}$ dążącym do ${\displaystyle 1}$ wewnątrz koła jednostkowego.

• ${\displaystyle q}$-pochodna

• George Gasper i Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek i Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, rozdział 0.2.

• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000053-QINU`"'-analog, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000054-QINU`"'-nawias, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., '"`UNIQ--math-00000055-QINU`"'-silnia, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• (ang.) Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Współczynnik '"`UNIQ--math-00000056-QINU`"'-dwumianowy, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).