Rozkład jedności

Rozkład jedności – pojęcie używane w matematyce m.in. w topologii, analizie oraz geometrii różniczkowej.

Rodzinę ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$ funkcji ciągłych ${\displaystyle f_{s}\colon X\to [0,1]}$ określonych na przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ nazywamy rozkładem jedności, o ile dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ zachodzi ${\displaystyle \sum \limits _{s\in S}f_{s}(x)=1.}$ Z warunku tego wynika w szczegolności, że przy ustalonym ${\displaystyle x\in X}$ zbiór ${\displaystyle \{s\in S:f_{s}(x)\neq 0\}}$ jest przeliczalny^[1].

• Jeżeli pokrycie ${\displaystyle \{f_{s}^{-1}((0,1])\}_{s\in S}}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest lokalnie skończone, to mówimy, że taki rozkład jedności jest lokalnie skończony.
• Jeżeli pokrycie ${\displaystyle \{f_{s}^{-1}((0,1])\}_{s\in S}}$ jest wpisane w pokrycie ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ to mówimy, że rozkład jedności ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$ jest drobniejszy od pokrycia ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$^[1].

• Ważnym w topologii zastosowaniem rozkładów jedności jest charakteryzacja przestrzeni parazwartych. Dokładniej, dla ${\displaystyle T_{1}}$-przestrzeni ${\displaystyle X}$ następujące warunki są równoważne:

a) Przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest parazwarta.

b) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni ${\displaystyle X}$ istnieje drobniejszy od niego lokalnie skończony rozkład jedności.

c) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni ${\displaystyle X}$ istnieje drobniejszy od niego rozkład jedności^[1].